J-준동형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''J-준동형'''(J-準同型, {{llang|en|J-homomorphism}})은 [[특수 직교군]]의 [[호모토피 군]]에서 [[초구]]의 [[호모토피 군]]으로 가는 특별한 [[군 준동형]]이다.<ref>{{저널 인용|first=John W.|last= Milnor |저자링크=존 밀너|title=Differential topology forty-six years later|journal= Notices of the American Mathematical Society |volume=58|year=2011|issue= 6 |pages=804–809|url=http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600804p.pdf | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
'''J-준동형'''은 다음과 같은 [[군 준동형]]이다.
:<math>J_{k,n} \colon \operatorname\pi_k(\operatorname{SO}(n)) \to \pi_{k+n}(\mathbb S^n)\qquad (k,n \ge 2)</math>
여기서
* <math>\pi_k(-)</math>는 [[다양체]]의 <math>k</math>차 [[호모토피 군]]이다.
* <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>은 [[실수체]] 계수 <math>n\times n</math> 행렬로 구성된 [[특수 직교군]]이다. 이는 [[리 군]]이므로, 특히 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다.
* <math>\mathbb S^n</math>은 <math>n</math>차원 [[초구]]이다. 이 역시 물론 [[매끄러운 다양체]]이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 우선, 정의에 따라서, <math>\operatorname{SO}(n)</math>은 <math>\mathbb S^{n-1}</math> 위에 표준적으로 [[매끄러운 함수|매끄럽게]] [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>\operatorname{SO}(n) \to \mathcal C^\infty(\mathbb S^{n-1},\mathbb S^{n-1})</math>
따라서, <math>\operatorname{SO}(n)</math>의 <math>k</math>차 [[호모토피 군]]은 다음과 같은 꼴의 [[연속 함수]]의 [[호모토피류]]로 구성된다.
:<math>\operatorname S^k \times \mathbb S^{n-1} \to \mathbb S^{n-1}</math>
따라서, 이는 다음과 같은 [[호모토피류]]를 정의한다.
:<math>\mathbb S^{k+n} \cong \mathbb S^k \star\mathbb S^{n-1} \to \operatorname S(\mathbb S^{n-1}) \cong \mathbb S^n</math>
이는 물론 <math>\pi_{k+n}(\mathbb S^n)</math>의 원소이다. 여기서 <math>X \star Y</math>는 두 위상 공간의 [[이음 (위상수학)|이음]]이며, <math>\operatorname S(-)</math>은 위상 공간의 [[현수 (위상수학)|현수]]이다.

또한, 만약 <math>n\to\infty</math> 극한을 취한다면, 다음과 같은 '''안정 J-준동형'''({{llang|en|stable J-homomomorphism}})을 얻는다.
:<math>J_{k,\infty} \colon \operatorname\pi_k(\operatorname{SO}(\infty))\to \operatorname\pi_k^{\mathbb S}</math>

== 역사 ==
[[하인츠 호프]]가 <math>\pi_k(\operatorname{SO}(k+1)) \to \pi_{2k+1}(\mathbb S^{k+1})</math>인 경우를 1935년에 구성하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Hopf | first1=Heinz | author1-link=하인츠 호프 | title=Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension | url=http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=1&tom=25 | year=1935 | journal=Fundamenta Mathematicae | issn=0016-2736 | volume=25 | pages=427–440|언어=de}}</ref> 이후 조지 윌리엄 화이트헤드 2세({{llang|en|George William Whitehead, Jr.}}, 1918~2004)가 이를 <math>\pi_k(\operatorname{SO}(n)) \to \pi_{k+n}(\mathbb S^n)</math>인 경우로 일반화하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Whitehead | first1=George William | title=On the homotopy groups of spheres and rotation groups | jstor=1968956 | mr=0007107 | year=1942 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=43 | pages=634–640 | issue=4 | doi=10.2307/1968956|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=J-homomorphism}}
* {{nlab|id=J-homomorphism and chromatic homotopy}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:리 군]]