F이론 문서 원본 보기

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{{끈 이론}}
[[끈 이론]]에서 '''F이론'''(F理論, {{llang|en|F-theory}})은 ⅡB종 [[초끈 이론]]의 [[축소화]]를 나타내는 이론이다.<ref name="Blumenhagen">{{저널 인용|제목=Basics of F-theory from the Type ⅡB perspective|이름=Ralph|성=Blumenhagen|저널=Fortschritte der Physik|권=58|호=7–9|쪽=820–826|날짜=2010-07|doi=10.1002/prop.201000030|arxiv=1002.2836|bibcode=2010ForPh..58..820B|issn=0015-8208|언어=en}}</ref> 이란인 이론 물리학자 [[캄란 바파]]가 1996년에 발표하였다. 형식적으로는 12차원 이론이나, 이는 [[축소화]]를 하지 않고는 일관적이지 않다. F이론을 사용하여 ⅡB종 초끈 이론의 수많은 [[축소화]]를 계산할 수 있고, 이들 가운데 상당수는 현상론적으로 중요하다.<ref>{{서적 인용|장=Lectures on constructing string vacua|이름=Frederik|성=Denef|제목=String theory and the real world: from particle physics to astrophysics|기타=Les Houches 87|ISBN=978-0-08-054813-5|쪽=483–610|연도=2008|doi=10.1016/S0924-8099(08)80029-7|arxiv=0803.1194|bibcode=2008arXiv0803.1194D|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Supercordes, phénoménologie et théorie-F|이름=Adil|성=Belhaj|공저자=Leila Medari|arxiv=0912.5295|bibcode=2009arXiv0912.5295B|날짜=2010-01-05|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|저널=Classical and Quantum Gravity|권=27|호=21|이름=Timo|성=Weigand|날짜=2010-11-07|쪽=4004|doi=10.1088/0264-9381/27/21/214004|제목=Lectures on F-theory compactifications and model building|arxiv=1009.3497|bibcode=2010CQGra..27u4004W|issn=0264-9381|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|저널=Annual Review of Nuclear and Particle Science|권=60|쪽=237-265|날짜=2010-11|doi=10.1146/annurev.nucl.012809.104532|제목=Particle physics implications of F-theory|arxiv=1001.0577|bibcode=2010ARNPS..60..237H|이름=Jonathan J.|성=Heckman|issn=0163-8998|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=ICMP lecture on heterotic/F-theory duality|이름=Ron Y.|성=Donagi|arxiv=hep-th/9802093|bibcode=1998hep.th....2093D|날짜=1998-02|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Toric methods in F-theory model building|이름=Johanna|성=Knapp|공저자=Maximilian Kreuzer|doi=10.1155/2011/513436|저널=Advances in High Energy Physics|권=2011|쪽=513436|날짜=2011|arxiv=1103.3358|bibcode=2011arXiv1103.3358K|issn=1687-7357|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Models of particle physics from Type ⅡB string theory and F-theory: a review|이름=Anshuman|성=Maharana|공저자=Eran Palti|doi=10.1142/S0217751X13300056|bibcode=2013IJMPA..2830005M|arxiv=1212.0555|저널=International Journal of Modern Physics A|권=28|호=5n06|쪽=1330005|날짜=2013-03-10|issn=0217-751X|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=F-theory, GUTs and chiral matter|이름=Martĳn|성=Wĳnholt|arxiv=0809.3878|bibcode=2008arXiv0809.3878W|날짜=2008-09|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은 [[SL(2;ℤ)]] [[S-이중성]]을 가진다. 이 이중성은 12차원의 F이론을 [[원환면]] <math>\mathbb T^2</math>에 [[축소화]]하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는 [[복소구조]] [[모듈라이 공간|모듈라이]] <math>\tau</math>를 [[라몽-라몽 장]] ([[액시온]]) <math>C_0</math>와 [[딜라톤]] <math>\Phi</math>의 합
:<math>\tau=C_0+\mathrm i\exp(-\Phi)</math>
로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을 '''액시오딜라톤'''({{llang|en|axiodilaton}})이라고 한다. 그러나 [[원환면]]의 크기를 나타내는 [[켈러 다양체|켈러 모듈라이]]에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다.

보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조 [[모듈라이 공간]](<math>\mathbb C/SL(2,\mathbb Z)</math>)의 [[올다발|다발]] 구조를 갖춘 [[칼라비-야우 다양체]]에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올({{lang|en|singular fibre}})은 [[D7-막]]의 존재를 나타낸다. 따라서 F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤, [[D7-막]]의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다.

{| class=wikitable
|-
! F이론 !! ⅡB 초끈 이론
|-
| [[타원 곡선]] 올의 올뭉치 <math>\Sigma\hookrightarrow E\twoheadrightarrow M</math> 위의 [[축소화]] || 다양한 액시온·딜라톤·[[D7-막]]이 존재하는 <math>M</math> 위의 비[[섭동 이론|섭동]]적 축소화
|-
| [[타원 곡선]]의 복소수 [[모듈라이 공간|모듈라이]] <math>\tau\in\mathbb C,\;\operatorname{Im}\tau>0</math> || 액시오딜라톤 <math>C_0 + \mathrm i\exp(-\Phi)</math>
|-
| [[타원 곡선]] 올의 [[SL(2;ℤ)]] 모듈러 변환 || [[SL(2;ℤ)]] [[S-이중성]]
|-
| [[타원 곡선]] 올이 퇴화하는 복소수 3차원 부분 다양체 || [[D7-막]] 및 일반적 <math>(p,q)</math> 7-막
|}

== 성질 ==
ⅡA 초끈 이론은 [[M이론]]을 원 위에 콤팩트화하여 얻을 수 있지만, ⅡB 초끈 이론은 (추가로 콤팩트화한 뒤 [[T-이중성]]을 사용하지 않고는) [[M이론]]에서 직접적으로 콤팩트화하여 얻을 수 없다. 그러나 F이론을 [[원환면]] 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻으며, ⅡB 초끈 이론의 [[SL(2;ℤ)]] [[S-이중성]]은 [[원환면]]의 [[사상류군]]에 대응한다.

4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭]] 이론을 얻기 위해서는 ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]에 [[축소화]]하거나, 보다 일반적으로 F이론을 복소수 4차원 [[칼라비-야우 다양체]] 위에 [[축소화]]하면 된다. 후자는 ⅡB 초끈 이론을 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]보다 더 일반적인 공간에 [[축소화]]하는 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 하면, 4차원에서 [[E₈|E<sub>8</sub>]] 등의 [[게이지 군]]을 만들 수 있다.

=== М이론과의 관계 ===
ⅡB [[초끈 이론]]은 [[M이론]]으로부터 다음과 같이 얻어진다.
# M이론을 원환면 <math>\mathbb S^1_{\text{M}}\times \mathbb S^1_{\text{T}}</math> 위에 축소화한다.
# 원 <math>\mathbb S^1_{\text{T}}</math>에 T-이중성을 가하여 새 원 <math>{\mathbb S^1_{\text{T}}}'</math>을 얻는다.
# 이제, 원환면 <math>\mathbb S^1_{\text{M}}\times \mathbb S^1_{\text{T}}</math>에서, 모양([[복소구조]])은 보존하지만 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취한다. 이 경우 원환면의 복소구조 모듈라이 <math>\tau</math>는 ⅡB 닫힌 끈 [[결합 상수]]와 같음을 알 수 있다.
이제, 이 과정을 일반화하여, [[M이론]]을 복소수 <math>n</math>차원의 [[칼라비-야우 다양체]] <math>\mathbb R^{11-2n}\times X_n</math>에 [[축소화]]하고, 이 칼라비-야우 다양체가 타원 곡선 올뭉치(예를 들어, [[타원 곡면]]) <math>X_n\twoheadrightarrow Y_{n-1}</math>을 이룬다고 하자. 그렇다면, 타원 곡선 올뭉치의 [[타원 곡선]] 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 체 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하자. 그렇다면, T-이중성에 따라서 새 차원이 생겨, <math>\mathbb R^{11-2n}\times\mathbb R\times Y</math> 위의 이론을 얻는다. 이는 “12차원”의 F이론으로 여길 수 있다.

ⅡA 초끈 이론의 [[D6-막]]은 M이론의 [[칼루차-클라인 이론|KK]] 들뜬 상태이므로, 기하학적 데이터로 주어진다. 이는 [[T-이중성]] 아래 ⅡB 초끈 이론의 [[D7-막]]이 된다. 즉, 이는 F이론에서 [[타원 곡선]] 올이 퇴화하는 기하학적 데이터로 주어짐을 알 수 있다.

=== ⅡB 초끈 이론과의 관계 ===
ⅡB 초끈 이론의 [[섭동 이론]]이 유효하려면, 끈 [[결합 상수]]가 [[거의 어디서나]] 매우 작아야 한다. 이 경우, 결합 상수가 작지 않은, 복소수 [[여차원]] 1(실수 여차원 2)의 자취({{llang|en|locus}})는 ⅡB 초끈 이론의 [[D7-막]]에 해당한다. 이러한 극한을 '''센 극한'''(সেন極限, {{llang|en|Sen limit}})이라고 한다.

구체적으로, 가장 간단한 축소화인 복소수 [[사영 직선]] ([[리만 구]])
:<math>\mathbb P^1_{\mathbb C}= \operatorname{Proj}\mathbb C[u,v]</math>
위의 축소화를 생각하자. 그렇다면, 그 위의 [[타원 곡선]] 올뭉치인 [[타원 곡면]]은 복소수 [[가중 사영 공간]]
:<math>\mathbb P^{1,2,3}_{\mathbb C} = \operatorname{Proj}\mathbb C[z,x,y] \cong \mathbb P^2/\operatorname{Sym}(3)</math>
:<math>\deg u = \deg v = \deg z=1</math>
:<math>\deg x=2</math>
:<math>\deg y=3</math>
을 정의하면,
:<math>\mathbb P^1_{\mathbb C} \times \mathbb P^{1,2,3}_{\mathbb C}</math>
속의 [[대수 곡면]]으로, <math>[u:v]</math>에서 그 올은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.<ref name="Blumenhagen"/>{{rp|(7)}}
:<math>\Sigma_{[u:v]} = \operatorname{Proj}\frac{\mathbb C[x,y,z]}{y^2+a_1(u,v)xyz + a_3(u,v)yz^3 - x^3 - a_2(u,v)x^2z^2 - a_4(u,v)xz^4 - a_6(u,v)z^6}</math>
여기서 <math>a_i(u,v)</math>는 <math>2i</math>차 [[동차 다항식]]이며, 따라서 <math>\mathbb P^1_{\mathbb C}</math>의 [[표준 가역층]] <math>\mathcal K</math>의 거듭제곱 <math>\mathcal K^{-n}</math>의 단면을 정의한다.

이 경우, 타원 곡선의 모듈라이 <math>\tau</math>는 다음과 같이 [[j-불변량]]으로 주어진다.
:<math>b_2 = a_1^2+4a_-2</math>
:<math>b_4=a_1a_3+2a_4</math>
:<math>b_6 = a_3^2+4a_6</math>
:<math>f_4 = \frac{24b_4-b_2^2}{48}</math>
:<math>g_6 = \frac{216b_6-36b_4b_2+b_2^3}{864}</math>
:<math>j(\tau) = \frac{4(24f_4)^3}{4f_4^3+27g_6^2}</math>

[[D7-막]]은 <math>j(\tau) = \infty</math>인 곳, 즉 [[모듈러 판별식]]이 0인 곳
:<math>0 = \Delta(\tau) = 4f_4^3+27g_6^2 </math>
이다. 이는 <math>[u:v]</math>에 대한 24차 다항식이다 (즉, [[가역층]] <math>\mathcal K_{\mathbb P^1_{\mathbb C}}^{-24}</math>의 단면이다). 따라서 [[리만 구]] 위에 24개의 [[D7-막]]이 존재함을 알 수 있다.

이 수는 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 계산할 수 있다. D7-막은 10차원 [[초중력]]의 해로서 여차원 평면에 <math>2\pi/12</math> [[라디안]]의 부족각(不足角, {{llang|en|deficit angle}})을 갖는다. 따라서, [[리만 구]]를 이루기 위한 부족각 <math>4\pi</math> [[라디안]]을 채우려면 24개의 D7-막이 필요하다. 

일반적으로, <math>\mathbb P^1</math> 위의 [[타원 곡면]]의 특이올은 [[고다이라 구니히코]]가 발견한 ADE 분류를 가지며, 이 경우 특이점 근처에서 모듈라이 <math>\tau</math>의 [[SL(2;ℤ)]] 모노드로미를 계산할 수 있다. 이 특이점들은 ⅡB 초끈 이론의 7-막에 해당한다. 이러한 7-막들은 액시오딜라톤의 [[SL(2;ℤ)]] 모노드로미에 의하여 분류되며, [[D7-막]]에 [[S-이중성]]을 가하여 얻는다. 이 경우, 모노드로미에 의한 7-막의 분류는 특이올의 고다이라 분류와 일치한다. 이 경우, 7-막 사이를 잇는 <math>(p,q)</math>-끈(기본 끈과 [[D1-막]]이 겹친 상태)들의 무질량 진동 모드는 ADE 분류에 대응되는 [[딘킨 도표]]의 [[단순 리 군]]의 [[딸림표현]]을 이루며, 따라서, 이러한 [[축소화]]의 저(低)에너지 [[양자장론]]은 이러한 게이지 군의 [[양-밀스 이론]]을 포함하게 된다.

ⅡB [[초끈 이론]] [[섭동 이론]]이 유효하려면, 끈 [[결합 상수]]가 [[거의 어디서나]] 매우 작아야 한다. 이는 <math>\tau</math>가 i∞인 것, 즉 [[j-불변량]]이 ∞가 되는 것이다. 이를 위하여, '''센 극한'''은
:<math>a_3\mapsto \epsilon a_3</math>
:<math>a_4\mapsto \epsilon a_4</math>
:<math>a_6\mapsto \epsilon a_6</math>
으로 치환했을 때 <math>\epsilon\to0</math> 극한으로 정의된다. 그렇다면, [[모듈러 판별식]]과 [[j-불변량]]은
:<math>\Delta(\tau) = -\frac14\epsilon^2b_2(b_2b_6-b_4^2)+\mathcal O(\epsilon^3)</math>
:<math>j(\tau) = \epsilon^{-2}\frac{b_2^4}{b_2b_6-b_4^2} + \mathcal O(\epsilon^{-1})</math>
이다. 이 경우,
* <math>b_2 = 0</math>인 곳은 ⅡB [[초끈 이론]]에서 [[O7-평면]]에 해당한다.
* <math>b_2b_6-b_4^2 = 0</math>인 곳은 ⅡB [[초끈 이론]]에서 [[D7-막]]에 해당한다.

== 역사 ==
1996년에 [[캄란 바파]]가 발표하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9602022|bibcode=1996NuPhB.469..403V|doi=10.1016/0550-3213(96)00172-1|이름=Cumrun|성=Vafa|저자링크=캄란 바파|제목=Evidence for F-theory|저널=Nuclear Physics B|권=469|호=3|날짜=1996-06-17|쪽=403–415|issn=0550-3213|언어=en}}</ref> 이름에서 ‘F’는 ‘근본적’({{lang|en|fundamental}}), ‘아버지’({{lang|en|father}}) 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된 [[M이론]]과 유사하게 명명한 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[딜라톤]]
* [[액시온]]
* [[M이론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=F-theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:끈 이론]]