E8 격자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''E{{아래 첨자|8}} 격자'''는 <math>\mathbb{R}^8</math>의 유일한 양의 정부호 짝 [[유니모듈러 격자]]이다. 이름은 [[E₈|E{{아래 첨자|8}} 근계]]의 [[근계|근 격자]]라는 사실에서 지어졌다.

E{{아래 첨자|8}} 격자의 노름<ref name="norm">이 문서에서, 벡터의 '''노름'''은 그 길이의 제곱을 나타낸다. 즉, 일반적으로 사용하는 노름의 제곱이다.</ref>은 8개의 변수에서 양의 정부호 짝 유니모듈러 [[이차 형식]]이며, 역으로 이러한 이차 형식은 계수 8의 양의 정부호 짝 [[유니모듈러 격자]]를 구성하는 데 사용할 수 있다. 이러한 이차 형식의 존재는 1867년에 [[헨리 존 스티븐 스미스]]에 의해 처음으로 제시되었으며,<ref name="Smith">{{저널 인용|제목=On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates|저널=Proceedings of the Royal Society|성=Smith|이름=H. J. S.|연도=1867|권=16|쪽=197–208|doi=10.1098/rspl.1867.0036}}</ref> 이 이차 형식의 첫 번째 명시적 구성은 1873년에 {{임시링크|알렉산드르 코르킨|en|Aleksandr Korkin}}과 {{임시링크|예고르 졸로타레프|en|Yegor Ivanovich Zolotarev}}에 의해 주어졌다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur les formes quadratiques|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1873_6/page/366|저널=Mathematische Annalen|성=Korkin|이름=A.|성2=Zolotarev|이름2=G.|연도=1873|권=6|쪽=366–389|doi=10.1007/BF01442795}}</ref> E{{아래 첨자|8}} 격자는 1900년경 격자 자체의 기하학을 최초로 연구한 {{임시링크|소롤드 고셋|en|Thorold Gosset}}의 이름을 따서 '''고셋 격자'''라고도 한다.<ref name="gosset">{{저널 인용|제목=On the regular and semi-regular figures in space of ''n'' dimensions|저널=[[Messenger of Mathematics]]|성=Gosset|이름=Thorold|연도=1900|권=29|쪽=43–48}}</ref>

== 격자점 ==
'''E{{아래 첨자|8}} 격자'''는 '''<math>\mathbb{R}^8</math>'''를 생성하는 [[이산 군 (수학)|이산 부분군]]이다. E<sub>8</sub> 격자는 다음과 같은 점 집합 Γ{{아래 첨자|8}} ⊂ '''R'''{{위 첨자|8}}에 의해 명시적으로 구성될 수 있다.

* 모든 좌표가 [[정수]]이거나 모든 좌표가 [[반정수]]이다. 정수와 반정수의 혼합은 허용되지 않는다.
* 8개 좌표의 합은 [[홀수와 짝수|짝수]]이다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

: <math>\Gamma_8 = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {\textstyle\sum_i} x_i \equiv 0\;(\mbox{mod }2)\right\}.</math>


E{{아래 첨자|8}} 격자의 다른 구성은 다음과 같은 점 집합 Γ&#x2032;{{아래 첨자|8}} ⊂ '''R'''{{위 첨자|8}}에 의한 것이다.

* 모든 좌표가 정수이고 좌표의 합이 짝수이다.
* 또는, 모든 좌표가 반정수이고 좌표의 합은 홀수이다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

: <math>\Gamma_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 2x_1 \equiv 2x_2 \equiv 2x_3 \equiv 2x_4 \equiv 2x_5 \equiv 2x_6 \equiv 2x_7 \equiv 2x_8\;(\mbox{mod }2)\right\}.</math><math>\Gamma_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 0(\mbox{mod }2)\right\}
\cup \left\{(x_i) \in (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 1(\mbox{mod }2)\right\}.</math>

격자 Γ{{아래 첨자|8}} 및 Γ&#x2032;{{아래 첨자|8}} 은 [[동형 사상|동형]]이며 홀수 개의 임의의 반정수 좌표의 부호를 바꾸어 하나에서 다른 것으로 사상할 수 있다. 격자 Γ{{아래 첨자|8}} 은 E{{아래 첨자|8}}에 대한 '''짝 좌표계'''라고 하고, 격자 Γ&#x2032;{{아래 첨자|8}}은 '''홀 좌표계'''라고 한다. 달리 지정하지 않는 한 짝 좌표계를 사용한다.

== 성질 ==
E{{아래 첨자|8}} 격자 Γ{{아래 첨자|8}} 은 다음과 같은 성질을 가진 '''<math>\mathbb{R}^8</math>'''의 유일한 격자이다.

* 정수 격자이다. 즉, 모든 격자점 쌍의 스칼라 곱이 정수이다.
* [[유니모듈러 격자]]이다. 즉, [[행렬식]] ±1인 8 &#xD7; 8 행렬의 열에 의해 생성될 수 있다. 동치 조건으로, Γ{{아래 첨자|8}} 은 ''자기 쌍대적''이다. 즉, 쌍대 격자와 같다.
* 이는 짝 격자이다. 즉, 모든 격자점의 노름<ref name="norm" />이 짝수임을 의미한다.

짝 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 발생할 수 있다. 16차원에는 Γ{{아래 첨자|8}} ⊕ Γ{{아래 첨자|8}} 과, Γ{{아래 첨자|8}} 과 유사한 방식으로 구성된 Γ{{아래 첨자|16}}의 두 가지 격자가 있다. 차원 24에는 Niemeier 격자라고 하는 격자가 24개 있다. 이들 중 가장 중요한 것은 [[리치 격자]]이다.

다음 ([[삼각행렬|상삼각]])행렬의 열은 Γ{{아래 첨자|8}}의 기저이다.

: <math>\left[\begin{smallmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2
\end{smallmatrix}\right]</math>

Γ{{아래 첨자|8}} 은 이러한 벡터의 정수 생성이다. 모든 가능한 기저는 이 행렬에 GL(8, '''Z''') 원소의 오른쪽 곱셈을 하여 얻어진다.

Γ{{아래 첨자|8}}에서 0이 아닌 가장 짧은 벡터의 길이는 √2이다. 이러한 벡터는 240개 존재한다.

* 모두 반정수 (±1/2만 가능):
** 모두 양수 또는 모두 음수: 2가지
** 양수 4개, 음수 4개: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70가지
** 양수 2개와 음수 6개, 또는 양수 6개와 음수 2개: 2*(8*7)/(2*1) = 56가지
* 모든 정수 (0, ±1만 가능):
** ±1 2개, 0 6개: 4*(8*7)/(2*1)=112가지

이들은 유형 [[E₈|E{{아래 첨자|8}}]]의 [[근계]]를 형성한다. 격자 Γ{{아래 첨자|8}} 은 E{{아래 첨자|8}} 근 격자와 동일하며, 이는 240개의 근의 정수 생성임을 의미한다. 8개의 [[근계|단순근]]을 선택하면 Γ{{아래 첨자|8}}의 기저가 된다.

== 구 채우기 및 입맞춤 수 ==
E{{아래 첨자|8}} 격자는 8차원 구 채우기 문제와 [[입맞춤 수 문제]]에 대한 최적해이다.

구 채우기 문제는 '''<math>\mathbb{R}^n</math>'''에서 같은 반지름을 가진, 속이 찬 ''n''차원 구를 두 구가 겹치지 않도록 채우는 방법 중 가장 조밀한 것에 대한 문제이다. 격자 채우기(lattice packing)는 모든 구를 격자점의 중심에 배치하는 특수한 유형의 구 채우기이다. 반경이 1/{{제곱근|2}}인 구를 '''E'''{{아래 첨자|8}} 격자점에 배치하면 밀도 <math>\frac{\pi^4}{2^4 4!} \cong 0.25367</math>인 '''<math>\mathbb{R}^8</math>'''의 격자 채우기를 얻는다.

[[한스 프레데릭 블리히펠트|Hans Frederick Blichfeldt]]는 1935년 논문을 통해 이는 8차원의 격자 채우기에 의해 달성될 수 있는 최대 밀도임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables|저널=Mathematische Zeitschrift|성=Blichfeldt|이름=H. F.|저자링크=Hans Frederick Blichfeldt|연도=1935|권=39|쪽=1–15|doi=10.1007/BF01201341|zbl=0009.24403}}</ref> 또한 E{{아래 첨자|8}} 격자는 등각투영 및 스칼라배 변형을 고려하지 않는다면 이 밀도를 가진 유일한 격자이다. [[마리나 뱌조우스카]]는 2016년에 이 밀도가 실제로 불규칙한 채우기 사이에서도 최적임을 증명하였다.<ref name="quanta">{{뉴스 인용|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|제목=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|성=Klarreich|이름=Erica|저자링크=Erica Klarreich|날짜=March 30, 2016|뉴스=[[Quanta Magazine]]}}</ref>

[[입맞춤 수 문제]]는 같은 반지름의 중심 구에 닿을 수 있는 고정된 반지름의 구의 최대 수를 묻는 문제이다. 위에서 언급한 E{{아래 첨자|8}} 격자 채우기에서 주어진 구는 이웃한 240개의 구와 접촉하는데, 0이 아닌 최소 노름인 2를 노름으로 갖는 격자점이 240개 있기 때문이다. 이는 1979년에 8차원에서 가능한 최대 수라는 것이 밝혀졌다.<ref>{{저널 인용|제목=On bounds for packing in ''n''-dimensional Euclidean space|저널=Soviet Mathematics - Doklady|성=Levenshtein|이름=V. I.|연도=1979|권=20|쪽=417–421}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in ''n'' dimensions|저널=Journal of Combinatorial Theory|성=Odlyzko|이름=A. M.|저자링크=Andrew Odlyzko|성2=Sloane|이름2=N. J. A.|저자링크2=Neil Sloane|연도=1979|권=A26|쪽=210–214|doi=10.1016/0097-3165(79)90074-8|zbl=0408.52007}} This is also Chapter 13 of Conway and Sloane (1998).</ref>

구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제는 매우 어렵고 최적해는 1, 2, 3, 8 및 24차원에서만 알려져 있다. (입맞춤 수 문제의 경우 4차원에서도 알려져 있다.) 8차원과 24차원에서 해가 알려져 있다는 사실은 부분적으로 E{{아래 첨자|8}} 격자와, 이와 유사한 24차원 격자인 [[리치 격자]]의 특수한 성질에서 비롯된다.

== 세타 함수 ==
어떤 (양의 정부호) 격자 Λ를 다음과 같이 주어진 [[세타 함수]]와 연관시킬 수 있다.

: <math>\Theta_\Lambda(\tau) = \sum_{x\in\Lambda}e^{i\pi\tau\|x\|^2}\qquad\mathrm{Im}\,\tau > 0.</math>

격자의 세타 함수는 [[상반평면]] 위의 [[정칙 함수]]이다. 게다가, 계수 ''n''의 짝 유니모듈러 격자의 세타 함수는 실제로 가중치 ''n''/2의 [[모듈러 형식]]이다. 정수 격자의 세타 함수는 종종 <math>q = e^{i\pi\tau}</math>에 대한 멱급수로 작성되고, 이때 ''q''{{위 첨자|''n''}}의 계수는 노름 ''n''인 격자점의 개수이다.

정규화해서 같은 형식을 같다고 간주하면 가중치 4와 레벨 1을 갖는 모듈러 형식은 [[아이젠슈타인 열|아이젠슈타인 급수]] ''G''{{아래 첨자|4}}(τ)가 유일하다. E{{아래 첨자|8}} 격자에 대한 세타 함수는 ''G''{{아래 첨자|4}}(τ)에 비례해야 한다. 정규화는 노름 0인 벡터가 유일하다는 점을 사용하여 수정할 수 있고, 이를 통해

: <math>\Theta_{\Gamma_8}(\tau) = 1 + 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{2n}</math>

를 얻는다. 여기서 σ{{아래 첨자|3}}(''n'')은 [[약수 함수]]이다. 따라서 노름 2''n''의 E{{아래 첨자|8}} 격자 벡터의 수는 ''n''의 약수의 세제곱의 합의 240배이다. 이 급수의 처음 몇 가지 항은 {{OEIS|A004009}}이다.

: <math>\Theta_{\Gamma_8}(\tau) = 1 + 240\,q^2 + 2160\,q^4 + 6720\,q^6 + 17520\,q^8 + 30240\, q^{10} + 60480\,q^{12} + O(q^{14}).</math>

E{{아래 첨자|8}} 세타 함수는 다음과 같이 [[세타 함수|야코비 세타 함수]]로 작성할 수 있다.

: <math>\Theta_{\Gamma_8}(\tau) = \frac{1}{2}\left(\theta_2(q)^8 + \theta_3(q)^8 + \theta_4(q)^8\right)</math>

: <math>
\theta_2(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+\frac{1}{2})^2}\qquad
\theta_3(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}\qquad
\theta_4(q) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{n^2}.
</math>

== 응용 ==
1982년 [[마이클 프리드먼]]은 교차 형식이 E<sub>8</sub> 격자로 주어지는 E{{아래 첨자|8}} 다양체라고 하는 4차원 [[다양체]]를 구성하였다. 이는 [[매끄러움 구조]]와 삼각화가 존재하지 않는 다양체의 예이다.

[[끈 이론]]에서 [[잡종 끈 이론|잡종 끈]]은 26차원 [[보손 끈 이론|보손 끈]]과 10차원 [[초끈 이론|초끈]]의 독특한 하이브리드이다. 이론이 올바르게 작동하려면 16개의 일치하지 않는 차원이 순위 16의 짝 유니모듈러 격자에서 압축되어야 한다. 이러한 격자는 Γ{{아래 첨자|8}}⊕Γ{{아래 첨자|8}} 와 Γ{{아래 첨자|16}} 두 가지가 있다. 이는 E{{아래 첨자|8}}&#xD7;E{{아래 첨자|8}} 잡종 끈과 SO(32) 잡종 끈으로 알려진 두 가지 버전의 잡종 끈으로 이어진다.

== 같이 보기 ==
* [[리치 격자]]
* [[E₈|E{{아래 첨자|8}} (수학)]]
* 반정규 E-폴리토프

== 각주 ==
{{각주}}

* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/spherepackingsla0000conw_b8u0|제목=Sphere Packings, Lattices and Groups|성=Conway|이름=John H.|저자링크=존 호턴 콘웨이|성2=Sloane|이름2=Neil J. A.|저자링크2=Neil Sloane|연도=1998|판=3rd|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|isbn=0-387-98585-9}}
* {{서적 인용|제목=On Quaternions and Octonions|성=Conway|이름=John H.|저자링크=존 호턴 콘웨이|성2=Smith|이름2=Derek A.|연도=2003|출판사=AK Peters, Ltd|위치=Natick, Ma.|isbn=1-56881-134-9}} Chapter 9 contains a discussion of the integral octonions and the E{{아래 첨자|8}} lattice.

[[분류:이차 형식]]
[[분류:격자점]]