C∞-대수 문서 원본 보기

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{{DISPLAYTITLE:C<sub>∞</sub>-대수}}
[[추상대수학]]에서 '''C<sub>∞</sub>-대수'''는 일종의 호모토피 가환 조건을 만족시키는 [[A∞-대수|A<sub>∞</sub>-대수]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Algebraic Operads|이름=Jean-Louis|성=Loday|저자링크=장루이 로데|이름2=Bruno|성2=Vallette|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|§13.1.8}}

== 정의 ==
C<sub>∞</sub>-대수는 두 가지로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 코바 구성({{llang|en|cobar construction}})에 의하여 서로 [[동치]]이다.

=== 정의 1 ===
표수 0의 [[체 (수학)|체]] 위의 [[A∞-대수|A<sub>∞</sub>-대수]] <math>(A,(m_i)_{i\in\mathbb Z^+})</math>가 주어졌다고 하자. 만약 이 A<sub>∞</sub>-대수가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''C<sub>∞</sub>-대수'''라고 한다.
:<math>m_{p+q}(\operatorname{sh}(x_1\otimes\dotsb \otimes x_p,y_1\otimes \dotsb \otimes y_q)) = 0</math>
여기서
:<math>\operatorname{sh}(x_1\otimes\dotsb \otimes x_p,x_{p+1}\otimes \dotsb \otimes y_{p+q})=\sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,q)}\pm (-)^\sigma x_{\sigma(1)}\otimes \dotsb\otimes\sigma_{\sigma(p+q)}</math>
는 모든 <math>(p,q)</math>차 [[셔플 순열]]에 대한 합이다. 위 식에서, <math>(-)^\sigma</math>는 순열의 홀짝성 <math>\operatorname{Sym}(n)\to \{\pm1\}</math>이며, <math>\pm</math>은 코쥘 부호 규칙(순열에서 두 원소 <math>a,b</math>를 교환할 경우 <math>(-)^{\deg a\deg b}</math>를 곱함)이다.

즉, 처음 두 개의 공리는 다음과 같다.
:<math>m_2(a,b) = (-)^{\deg a\deg b}m_2(b,a) = 0</math>
:<math>m_3(a,b,c) + (-)^{1+\deg b\deg c} m_3(a,c,b) + (-)^{\deg c(\deg a+\deg b)}m_3(c,a,b) = 0</math>

=== 정의 2 ===
표수 0의 체 위의 정수 [[등급 벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[자유 리 대수]] <math>\mathcal L(V[1])</math>를 생각하자. 이 위에서, 등급 1의 선형 미분
:<math>\mathrm D\colon \mathcal L(V)\to\mathcal L(V)</math>
:<math>\mathrm D^2=0</math>
:<math>\mathrm D[a,b] = [\mathrm Da,b] + (-)^{\deg a}[a,\mathrm Db]</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>(V^*,D)</math>를 '''C<sub>∞</sub>-대수'''라고 한다.

== 예 ==
<math>0=m_3=m_4=m_5=\dotsb</math>인 C<sub>∞</sub>-대수의 개념은 [[가환 미분 등급 대수]]의 개념과 [[동치]]이다.

== 역사 ==
토르니케 카데이슈빌리({{llang|ka|თორნიკე კადეიშვილი}})가 1988년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Tornike|성=Kadeishvili|제목=The A<sub>∞</sub>-algebra structure and cohomology of Hochschild and Harrison|저널=Proceedings of Tbilisi Mathematical Institute|권=91|날짜=1988|쪽=19–27|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=C-infinity algebra}}

[[분류:대수 구조]]
[[분류:호모토피 이론]]