BRST 양자화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자장론}}
'''BRST 양자화'''({{Llang|en|BRST quantization}}) 또는 '''베키-루에-스토라-튜틴 양자화'''({{llang|en|Becchi–Rouet–Stora–Tyutin quantization}})는 [[게이지 이론]]을 [[양자화 (물리학)|양자화]]하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭(게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 [[힐베르트 공간]]이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 [[코호몰로지]]를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다.

== 역사 ==
카를로 베키({{llang|it|Carlo Maria Becchi}}), 알랭 루에({{llang|fr|Alain Rouet}}), 레몽 스토라({{llang|fr|Raymond Félix Stora}})<ref>{{저널 인용|제목=The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the ''S''-operator|이름=C.|성=Becchi|저자2=A. Rouet|저자3=R. Stora|저널=Physics Letters B|권=52|호=3|날짜=1974년 10월 14일|쪽=344–346|doi=10.1016/0370-2693(74)90058-6|bibcode=1974PhLB...52..344B|언어=en}}</ref><ref>
{{저널 인용|저널=Annals of Physics|권=98|호=2|날짜=1976-06|쪽=287–321|제목=Renormalization of gauge theories||저자=C. Becchi|저자2=A. Rouet|저자3=R. Stora|doi=10.1016/0003-4916(76)90156-1|bibcode=1976AnPhy..98..287B|언어=en}}</ref>, 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴({{llang|ru|И́горь Ви́кторович Тю́тин}})<ref>{{저널 인용|제목=Gauge invariance in field theory and statistical physics in operator formalism|이름=Igor V.|성=Tyutin|arxiv=0812.0580|연도=1975|bibcode=2008arXiv0812.0580T}}</ref> 이 1970년대에 도입하였다.

== 전개 ==
게이지 이론의 상태공간 <math>H</math>는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 [[반전성]]이고, ℝ은 '''유령수'''({{llang|en|ghost number}})다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자 <math>Q</math>는 반전성 <math>-1</math> (홀수), 유령수 1을 가진다.

<math>H_n</math>이 유령수 <math>n</math>을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면 <math>Q:H_n\to H_{n+1}</math>이다. <math>Q^2=0</math>이므로, 이는 [[코호몰로지]]를 이룬다. 이를 '''BRST 코호몰로지'''라고 한다.

실재하는 상태는 <math>Q</math>의 코호몰로지, 즉 [[벡터 공간]] <math>\ker Q_{n+1}/\operatorname{Im}Q_n</math>의 원소다.

=== 일반적 게이지 이론의 양자화 ===
일련의 장 <math>\phi_i</math>와 게이지 대칭 <math>\delta_\alpha</math>를 생각하자. 이들이 [[리 대수]]
:<math>[\delta_\alpha,\delta_\beta]={f_{\alpha\beta}}^\gamma\delta_\gamma</math>
를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건 <math>F^A(\phi_i)=0</math>을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이 <math>S_0</math>이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다.
:<math>\frac1{V_\text{gauge}}\int D\phi\;\exp(-S_0)=\int D\phi\;DB_A;Db_ADc^\alpha \exp(-S)</math>
여기서 새 작용은 다음과 같다.
:<math>S=S_0+i\int B_AF^A(\phi)+\int b(\delta_\alpha F^A)c^\alpha</math>
여기서 <math>b_A</math>, <math>c^\alpha</math>는 그라스만 장이다.

게이지 고정한 작용 <math>S</math>는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다.
:<math>\delta \phi_i=-i\epsilon c^\alpha\delta_\alpha\phi_i</math>
:<math>\delta b_A=-\epsilon B_A</math>
:<math>\delta c^\alpha=-\frac12\epsilon c^\beta c^\gamma{f_{\beta\gamma}}^\alpha</math>
:<math>\delta B_A=0</math>
여기서 <math>\epsilon</math>은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를 <math>Q</math>라고 부르자. 이는 <math>Q^2=0</math>을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는 <math>\ker Q/\operatorname{Im}Q</math>이다.

=== 양-밀스 이론의 양자화 ===
[[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은 <math>\mathfrak g</math>의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건 <math>G^a=\xi\partial^\mu A^a_\mu</math>을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 [[파데예프-포포프 유령]]장 <math>b^a</math>와 <math>c^a</math>가 필요하다. 여기에 [[보조장]] <math>B^a</math>를 추가하자.

그러면 작용은 다음과 같다.

:<math>\mathcal{L}=-{1\over 4g^2} \operatorname{Tr}[F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}]+{1\over 2g^2} \operatorname{Tr}[BB]-{1\over g^2} \operatorname{Tr}[BG]-{\xi\over g^2} \operatorname{Tr}[\partial^\mu b D_\mu c]</math>

여기에 BRST 연산자 <math>Q</math>를 다음과 같이 정의하자.

:<math>QA=Dc</math>
:<math>Qc={i\over 2}[c,c]_L</math>
:<math>QB=0</math>
:<math>Qb=B</math>

== 같이 보기 ==
* [[바탈린-빌코비스키 대수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry|이름=Carlo Maria|성=Becchi|날짜=2008|저널=Scholarpedia|권=3|호=10|쪽=7135|doi=10.4249/scholarpedia.7135|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Introduction to BRS symmetry|이름=Carlo|성=Becchi|날짜=1996|arxiv=hep-th/9607181|언어=en}}
* {{저널 인용|저널=American Journal of Physics|날짜=2002-05|권=70|호=5|쪽=548–555|제목=Illustrations of the Becchi–Rouet–Stora–Tyutin invariance by means of simple toy models|저자=D. R. Bes|저자2=O. Civitarese|doi=10.1119/1.1450574|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1007/BF01218591|저널={{Lang|en|Communications in Mathematical Physics}}|날짜=1989-12|권=123|호=4|쪽=677–685|제목={{lang|en|Remarks on mathematical structure of BRST theories}}|이름=S. S.|성=Horuzhy|저자2=A. V. Voronin|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1016/S0370-1573(00)00049-1|arxiv=hep-th/0002245|이름=Glenn|성=Barnich|저자2=Friedemann Brandt|저자3=Marc Henneaux|제목=Local BRST cohomology in gauge theories|저널=Physics Reports|권=338|호=5|쪽=439–569|날짜=2000-11|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Aspects of BRST quantization|이름=J.W.|성=van Holten|doi=10.1007/978-3-540-31532-2_3|bibcode=2005LNP...659...99V|isbn=978-3-540-23125-7|쪽= [https://archive.org/details/topologygeometry0000unse/page/99 99]–166|제목=Topology and Geometry in Physics|url=https://archive.org/details/topologygeometry0000unse|날짜=2005|출판사=Springer|위치=Berlin, Heidelberg|기타=Lecture Notes in Physics 659|issn=0075-8450|언어=en}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:양자색역학]]