ADHM 작도 문서 원본 보기

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[[수리물리학]]에서 '''ADHM 작도'''(ADHM作圖, {{llang|en|ADHM construction}})는 [[선형대수학]]만을 사용하여 4차원 유클리드 공간의 [[양-밀스 순간자]]들을 작도하는 방법이다.

== 전개 ==
SO(4)=SU(2)<sub>L</sub>×SU(2)<sub>R</sub>이다. 편의상 바일 스피너 표기법을 사용하자. 즉, SU(2)<sub>L</sub>의 기본 표현 '''2'''의 지수는 <math>\alpha,\beta,\dots=1,2</math>로, SU(2)<sub>R</sub>의 기본 표현 '''2'''의 지수는 <math>\dot\alpha,\dot\beta,\dots=1,2</math>로 쓴다. 이렇게 하면, SO(4)의 기본 표현은 '''4'''=('''2''','''2''')이므로, 4차원 벡터의 지표는 <math>a\dot a</math>가 된다.

통상적으로,
:<math>\psi^{\dot\alpha}=\epsilon^{\dot\alpha\dot\beta}\psi_{\dot\beta}</math>
:<math>\psi^{\alpha}=\epsilon^{\alpha\beta}\psi_\beta</math>
이다.

=== ADHM 데이터 ===
SU(''N'') [[양-밀스 이론]]에서, 순간자수가 <math>k</math>인 상태를 작도한다고 하자. 그렇다면 '''ADHM 작도'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>X_\mu\in\hom(\mathbb R^k,\mathbb R^k)</math>. 이는 <math>X_{\alpha\dot\alpha}=\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}X_\mu</math>로 적을 수 있다.
* <math>W_{\dot\alpha}\in\hom(\mathbb C^N,\mathbb C^k)</math>. 이는 <math>k\times N</math> 복소 행렬로 나타낼 수 있다.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 '''ADHM 방정식'''({{llang|en|ADHM equation}})이라고 한다.
:<math>W_{\dot\alpha}(W_{\dot\beta})^\dagger=iC\epsilon_{\dot\alpha\dot\beta}+i\epsilon^{\alpha\beta}X_{\alpha\dot\alpha}(X_{\beta\dot\beta})^\dagger</math>
여기서 <math>C\in\mathfrak{u}(k)</math>는 임의의 <math>k\times k</math> [[에르미트 행렬]]이다.

=== 작도 ===
이 데이터로, 순간자 <math>A_\mu</math>를 다음과 같이 작도할 수 있다.

시공간 좌표 <math>x\in\mathbb R^4</math>는 4차원 벡터이므로,
:<math>x_{\alpha\dot\alpha}=x_\mu \sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}</math>
로 적을 수 있다. 여기서 <math>\sigma^\mu</math>는 [[파울리 행렬]]이다.

<math>2k\times(N+2k)</math> 복소행렬 <math>\Delta</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\Delta_{\dot\alpha}(x)=W_{\dot\alpha}</math>
:<math>\Delta_{\alpha\dot\alpha}(x)=X_{\alpha\dot\alpha}+x_{\alpha\dot\alpha}\otimes I_{k\times k}</math>
:<math>\Delta=\begin{pmatrix}
\Delta_{\dot 1}&\Delta_{1\dot 1}&\Delta_{2\dot 1}\\
\Delta_{\dot 2}&\Delta_{1\dot 2}&\Delta_{2\dot 2}
\end{pmatrix}</math>
위 조건에 따라서, <math>2k\times 2k</math> 행렬 <math>\Delta(x)\Delta^\dagger(x)</math>는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\Delta(x)\Delta^\dagger(x)=\begin{pmatrix}F^{-1}(x)&0_{k\times k}\\0_{k\times k}&F^{-1}(x)\end{pmatrix}</math>
<math>\Delta(x)</math>는 <math>\mathbb C^{N+2k}</math>에 작용한다. [[거의 모든]] <math>x_{\alpha\dot\alpha}</math>에 대하여, <math>\ker\Delta(x)</math>는 <math>N</math>차원이다. 따라서, <math>\Delta</math>의 규칙화 영 모드들을 <math>(2k+N)\times N</math> 행렬 <math>U(x)</math>로 적자.
:<math>\Delta(x)U(x)=0</math>
:<math>U^\dagger(x)U(x)=I_{N\times N}</math>
그렇다면 [[순간자]] [[게이지 퍼텐셜]] <math>A_\mu</math>는 다음과 같다.
:<math>A_\mu=iU^\dagger(x)\frac{\partial}{\partial x^\mu}U(x)</math>

=== 모듈러스 공간의 차원 ===
<math>X_\mu</math>는 <math>4k^2</math>개의 실수 매개변수, <math>W_{\dot\alpha}</math>는 <math>4Nk</math>개의 실수 매개변수를 기여한다. ADHM 방정식은 <math>3k^2</math>개의 제약을 가하고, 또한 임의의 <math>M\in\operatorname{U}(k)</math>에 대하여
:<math>W_{\dot\alpha}\to MW_{\dot\alpha}</math>
:<math>X_{\alpha\dot\alpha}\mapsto MX_{\alpha\dot\alpha}M^{-1}</math>
와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은 <math>4Nk</math>이다.

=== 끈 이론에서의 해석 ===
ADHM 작도는 [[끈 이론]]으로 자연스럽게 해석할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0509216|제목=TASI lectures on solitons|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th0509216|이름=David|성=Tong|bibcode=2005hep.th....9216T|날짜=2005|언어=en}}</ref> 이 경우, ''N''개의 겹친 [[D-막|D3-막]]에 녹아 있는 ''k''개의 [[D-막|D(−1)-막]]들을 고려한다. 이 경우 D(−1)-막에 존재하는 <math>\mathcal N=2</math> (16개 초전하) [[초대칭 게이지 이론]]을 고려한다. 이 게이지 이론은 쿨롱 상과 힉스 상 두 가지의 [[상 (물리학)|상]]이 존재한다.
* 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리돼 각각 자유롭게 움직인다.
* 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아, D3-막 위에 존재하는 [[초대칭 게이지 이론]]의 [[순간자]]를 이룬다.
따라서, 다음과 같은 대응 관계를 얻는다.
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! ADHM 작도 !! 끈 이론 해석
|-
| ''N'' || 게이지 군 SU(''N'')의 계수 || 겹친 D3-막의 수
|-
| ''k'' || 순간자수 || D(−1)-막의 수
|-
| || ADHM 방정식 || D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항
|-
| <math>W_{\dot\alpha}</math> || || D3-막과 D(−1)-막을 잇는 [[끈 (물리학)|끈]]으로 발생하는 스칼라장
|-
| <math>X_\mu</math> || || D(−1)-막의 (비가환) 위치
|-
| || 순간자 모듈러스 공간 || D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 [[모듈러스 (물리학)|모듈러스 공간]]
|}

== 역사 ==
[[마이클 아티야]], [[블라디미르 드린펠트]], [[나이절 히친]], [[유리 마닌]]이 발표하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Atiyah | first=Michael Francis | authorlink=마이클 아티야|저자링크2=블라디미르 드린펠트|이름2=Vladimir|성2= Drinfeld|저자링크3=나이절 히친|이름3=Nigel |성3=Hitchin|저자링크4=유리 마닌|이름4=Yuri|성4= Manin | title=Construction of instantons | doi=10.1016/0375-9601(78)90141-X | mr=598562 | zbl = 0424.14004 | 날짜=1978-03-06 | journal=Physics Letters A | issn=0375-9601 | volume=65 | issue=3 | pages=185–187|bibcode = 1978PhLA...65..185A|언어=en}}</ref> 이름은 발견자들의 성의 머릿자를 딴 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[트위스터 이론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|doi=10.1016/S0370-1573(02)00301-0|arxiv=hep-th/0206063|bibcode=2002PhR...371..231D|제목=The calculus of many instantons|성=Dorey|이름=Nick|공저자=Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, Michael P. Mattis|저널=Physics Reports|권=371|호=4-5|쪽=231-459|날짜=2002-12|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Instantons and monopoles in Yang–Mills gauge theories|이름=M. K.|성=Prasad|저널=Physica D: Nonlinear Phenomena|권=1|호=2|쪽=167–191|bibcode=1980PhyD....1..167P|doi=10.1016/0167-2789(80)90010-X|날짜=1980-06|언어=en}}
* {{서적 인용|날짜=2001|장=Trieste lectures on solitons in noncommutative gauge theories|이름=Nikita A.|성=Nekrasov|제목= Superstrings and Related Matters: Proceedings of the Trieste 2000 Spring Workshop, ICTP, Trieste, Italy, 27 March – 4 April 2000|url=https://archive.org/details/superstringsrela2000matt|출판사=World Scientific|isbn=978-981-02-4525-2|bibcode=2001srm..conf..141N|쪽=[https://archive.org/details/superstringsrela2000matt/page/n148 141]–205|doi=10.1142/9789812810274_0004|arxiv=hep-th/0011095|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Instantons and the ADHM construction|이름=A. J.|성=Lindenhovius|기타=석사 학위 논문|url=http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f1909314163.pdf|언어=en}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:양자색역학]]