A∞-오퍼라드 문서 원본 보기

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[[오퍼라드 이론]]에서 '''A<sub>∞</sub>-오퍼라드'''({{llang|en|A<sub>∞</sub>-operad}})는 [[호모토피]]를 무시한다면 [[결합 법칙]]이 성립하는 대수들을 나타내는 [[오퍼라드]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위에 작용하는 오퍼라드 <math>A</math>에 대하여, 만약 <math>A(n)</math>이 ([[이산 공간]]의 위상을 준) [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>과 [[호모토피 동치]]이며, 또한 <math>A(n)</math> 위의 대칭군 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, <math>A</math>를 '''A<sub>∞</sub>-오퍼라드'''라고 한다.

== A<sub>∞</sub>-대수 ==
A<sub>∞</sub>-오퍼라드를 [[벡터 공간]]의 [[모노이드 범주]] 위에 표현하면, '''A<sub>∞</sub>-대수'''를 얻는다. A<sub>∞</sub>-대수 <math>A</math>는 다음과 같이 정수 등급을 갖는 벡터 공간이며,
:<math>A=\bigoplus_{p\in\mathbb Z}A^p</math>
다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든 <math>n\ge1</math>에 대하여, <math>n</math>항 <math>n</math>겹선형 연산
:<math>m_n\colon A^{\oplus n}\to A</math>
:<math>\deg m_n=2-n</math>
이 존재한다.

이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 <math>n\ge1</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\sum_{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(a_1,\dots,a_r,m_s(b_1,\dots,b_s),c_1,\dots,c_t)=0\qquad\forall a_i,b_i,c_i\in A</math>
처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 <math>m_1=\delta</math>, <math>m_2=\cdot</math>으로 쓰자.
* (공경계의 멱영성) <math>\delta^2=0</math>
* ([[곱 규칙]]) <math>\delta(ab)=(\delta a)b+a(\delta b)</math>
* (호모토피 [[결합 법칙]]) <math>a(bc)-(ab)c=\delta m_3(a,b,c)+m_3(\delta a,b,c)+m_3(a,\delta b,c)+m_3(a,b,\delta c)</math>
* <math>m_3(ab,c,d)-m_3(a,bc,d)+m_3(a,b,cd)-m_3(a,b,c)d-am_3(b,c,d)=-\delta m_4(a,b,c,d)+m_4(\delta a,b,c,d)+m_4(a,\delta b,c,d)+m_4(a,b,\delta c,d)+m_4(a,b,c,\delta d)</math>
* <math>\vdots</math>
따라서, <math>(A,\delta)</math>는 [[공사슬 복합체]]를 이룬다.

두 A<sub>∞</sub>-대수 <math>A</math>, <math>B</math> 사이의 '''사상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>n\ge1</math>에 대하여, 차수 <math>1-n</math>인 겹선형 사상 <math>f_n\colon A^{\otimes n}\to B</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 <math>n\ge1</math>에 대하여,
:<math>\sum_{r+s+t=n}(-1)^{r+st}f_{r+1+t}(a_1,\dots,a_r,m_s(a_{r+1},\dots,a_{r+s}),a_{r+s+1},\dots,a_n)=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1+\cdots+i_k=n}(-1)^{\sum_{\ell=1}^k(k-\ell)(i_\ell-1)}m_r(f_{i_1}(a_1,\dots,a_{i_1},f_2(\dots),\dots,f_{i_k}(\dots,a_n))</math>
구체적으로, 처음 몇 <math>n</math>에 대하여 이 조건은 다음과 같다.
:<math>f_1\circ\delta=\delta\circ f_1</math>
:<math>f_1(a\cdot b)=f_1(a)\cdot f_1(b)+\delta f_2(a,b)+f_2(\delta a,b)+f_2(a,\delta b)</math>
:<math>\vdots</math>

A<sub>∞</sub>-대수 <math>A</math>의 [[코호몰로지]] <math>H^\bullet(A)</math>를 취하자. 그렇다면, <math>H^\bullet(A)</math> 위에도 자연스러운 A<sub>∞</sub>-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 <math>m_1=0</math>이 된다.

== 예 ==
'''결합 오퍼라드'''는 <math>A(n)=\operatorname{Sym}(n)</math>인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.

'''작은 구간 오퍼라드'''({{llang|en|little interval operad}})의 경우, <math>A(n)</math>은 단위 구간 <math>(0,1)</math> 속에 존재하는 <math>n</math>개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.

== 같이 보기 ==
* [[A∞-대수]]
* [[오퍼라드]]
* [[고리 공간]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|arxiv=math/9910179|제목=Introduction to A-infinity algebras and modules|저널=Homology, Homotopy and Applications|권=3|호=1 |날짜=2001|쪽= 1-35|이름=Bernhard|성=Keller|mr=1854636|zbl=0989.18009|issn=1532-0073|doi=10.4310/hha.2001.v3.n1.a1|언어=en}}
** {{저널 인용|제목=Addendum to: ‘Introduction to A-infinity algebras and modules’ |저널=Homology, Homotopy and Applications|권=4|호=1 |날짜=2002|쪽= 25–28|이름=Bernhard|성=Keller|issn=1532-0073|doi=10.4310/hha.2001.v3.n1.a2|mr=1905779|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=1202.3245|장=Algebra + homotopy = operad|이름=Bruno|성=Vallette|bibcode=2012arXiv1202.3245V|제목=Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=62|날짜=2014|쪽=101–162|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=math/0401007|제목=Transferring A<sub>∞</sub> (strongly homotopy associative) structures|이름=Martin|성=Markl|bibcode=2004math......1007M|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/A-infinity+operad|제목=A-infinity operad|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/A-infinity-algebra|제목=A-infinity-algebra|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:대수]]
[[분류:대수적 위상수학]]