8차원 회전군 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''8차원 회전군'''(八次元回轉群, {{llang|en|eight-dimensional rotation group}})은 8차원 [[유클리드 공간]]의, 원점을 보존하는 [[등거리 변환]]의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 '''[[삼중성 (수학)|삼중성]]'''({{llang|en|triality}})이라는 특별한 대칭을 갖는다.

== 정의 ==
'''8차원 회전군'''은 8차원 실수 계수 [[직교군]] <math>\operatorname O(8;\mathbb R)</math>이다. 그 [[딘킨 도표]]는
:<math>\bullet - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} </math>
이다. 이 [[그래프]]는 중심 밖의 꼭짓점의 [[순열]]에 대하여 3차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(3)</math> 대칭을 갖는데, 이를 '''삼중성'''({{llang|en|triality}})이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.

그 [[복소수 리 대수]] <math>\mathfrak o(8;\mathbb C)</math>은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 [[리 군]]들은 다음이 있다.

{| class=wikitable
! [[킬링 형식]]의 부호수 !! 기호 !! 직교군 기호 !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]] !! 비고
|-
| (0,28) || || Spin(8) || <math>\bullet - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} </math> || <math>\circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} </math> || 콤팩트 형태
|-
| (7,21) || D₄Ⅱ || Spin(1,7) || <math>\circ - \bullet \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet} </math> || <math>\circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}\} </math>
|-
| (12,16) || D₄Ⅱ, D₄Ⅲ || SO*(8)=SO(2,6) || <math>\circ - \circ \big\langle{\textstyle\bullet\atop\textstyle\bullet}</math> || <math>\bullet - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} </math>
|-
| (15,13) || D₄Ⅱ || Spin(3,5) || <math>\circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ}\} </math> || <math>\bullet - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} \}</math>
|-
| (16,12) || D₄Ⅰ || Spin(4,4) || <math>\circ - \circ \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} </math>|| <math>\circ - \bullet \big\langle{\textstyle\circ\atop\textstyle\circ} </math> || 분할 형태
|}

== 성질 ==
=== 콤팩트 형태 ===
Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 [[마요라나-바일 스피너]]이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.

Spin(8)의 [[군의 중심]]은 [[클라인 4원군]]
:<math>\operatorname Z(\operatorname{Spin}(8))\cong\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
이며, 이는 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 2차원 [[벡터 공간]] <math>\mathbb F_2^{\oplus2}</math>의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 [[자기 동형군]]은
:<math>\operatorname{Aut}\left(\operatorname Z(\operatorname{Spin}(8))\right) \cong \operatorname{GL}(2;\mathbb F_2) \cong \operatorname{Sym}(3)</math>
이다. 구체적으로, <math>\mathbb F_2^{\oplus2}</math>는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, [[자기 동형군]]은 이 위의 [[순열]]로서 작용한다.

[[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(8;\mathbb R)</math>에서, 이 중심군은 <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 [[스피너]]가 특수 직교군의 [[군의 표현|표현]]을 이루지 못함에 대응한다.

물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군 <math>\operatorname{PSO}(8;\mathbb R)</math>을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

=== 분할 형태 ===
<math>\operatorname{SO}^+(4,4)</math>의 [[군의 중심]]은 <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은 <math>\operatorname{SO}(4)\times\operatorname{SO}(4)</math>이므로, 그 [[기본군]]은 <math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>이다. 다시 말해, <math>\operatorname{SO}^+(4,4)</math>의 [[범피복군]]의 [[군의 중심]]은
:<math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2) \cong \mathbb F_2^{\oplus3}</math>
이다. 그 [[자기 동형군]]은 크기 168의 [[유한 단순군]]
:<math>\operatorname{GL}(3;\mathbb F_2) \cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)</math>
이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.

Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.

=== SO(3,5) ===
Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.

<math>\operatorname{SO}(3,5)</math>의 [[범피복군]]의 [[군의 중심]]은 마찬가지로 <math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>이다.

=== SO(2,6) = SO*(8) ===
[[실수 리 대수]] <math>\mathfrak o(2,6)</math>은 <math>\mathfrak o^*(8)</math>과 일치한다. 이에 대응하는 [[리 군]]의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 [[민코프스키 공간]]의 [[등각군]]으로 해석될 수 있다.

동형 사상
:<math>\mathfrak o(2,6) \cong \mathfrak o^*(8)</math>
은 [[6차원 회전군]]의 동형 사상
:<math>\mathfrak{su}(1,3) \cong \mathfrak o^*(6)</math>
을 확장시킨다.

=== 로런츠 형태 SO(1,7) ===
[[실수 리 대수]] <math>\mathfrak o(1,7)</math>은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 [[유클리드 공간]]의 [[등각군]]으로 해석될 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[클리퍼드 대수]]
* [[G₂]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=John Frank|성=Adams|날짜=1981|장=Spin(8), Triality, F<sub>4</sub> and all that|제목=Superspace and supergravity|editor1-first=Stephen |editor1-last=Hawking|editor1-link=스티븐 호킹 |editor2-first= Martin|editor2-last= Roček | 출판사= Cambridge University Press|쪽= 435&ndash;445| 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=triality|title=Triality}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/116666/triality-of-spin8|제목=Triality of Spin(8)|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/~distler/blog/archives/002492.html | 제목=G<sub>2</sub> and Spin(8) Triality|이름=Jacques|성=Distler|날짜=2012-01-27|웹사이트=Musings|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]