5차원 회전군 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''5차원 회전군'''(五次元回轉群, {{llang|en|five-dimensional rotation group}})은 5차원 [[유클리드 공간]]의, 원점을 보존하는 [[등거리 변환]]의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 [[사원수]]의 2×2 [[유니터리 군]]으로도 나타내어질 수 있다.

== 정의 ==
[[단순 리 대수]]의 분류에서, <math>\mathsf B_2=\mathsf C_2</math>형을 생각하자. 이는 [[딘킨 도표]]
:<math>\bullet\Rightarrow\bullet</math>
에 대응한다. 이에 대응하는 [[리 군]]은 B₂([[직교군]])로, 또는 C₂([[심플렉틱 군]])로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 [[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(5;\mathbb R)</math> 및 그 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(5)</math>의 2겹 [[몫군]]이다. 이 밖에도, 부정 [[계량 부호수]]를 준
:<math>\operatorname{SO}(1,4)</math> (5차원 [[로런츠 군]])
:<math>\operatorname{SO}(2,3)</math>
및 이에 대응하는 [[스핀 군]]들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 [[심플렉틱 군]]은
:<Math>\operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r)</math>
이며, 마찬가지로 분할 형태
:<math>\operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R)</math>
가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

:{| class=wikitable
! [[킬링 형식]]의 부호수 !! 기호 !! [[직교군]] 기호 !! [[심플렉틱 군]] 기호 !! [[군의 중심]] !! [[기본군]] !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]] !! 비고
|-
| rowspan=2 | (0,10) 
| rowspan=2 | B₂, C₂
|| Spin(5) || <math>\operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || 0
| rowspan=2 | <math>\bullet\Rightarrow\bullet</math>
| rowspan=2 | <math>\circ\Rightarrow\circ</math>
| [[단일 연결]] 콤팩트 형태
|-
| SO(5) || <math>\operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H)</math> || 0 || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || 무중심 콤팩트 형태
|-
| rowspan=2 | (6,4)
| rowspan=2 | B₂Ⅰ, C₂Ⅰ
|| Spin(2,3) || <math>\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(\infty)</math>
| rowspan=2 | <math>\circ\Rightarrow\circ</math>
| rowspan=2 | <math>\bullet\Rightarrow\circ</math>
|| 분할 형태
|-
| SO⁺(2,3) || <math>\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)</math> || 0 || <math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty)</math> || 무중심 분할 형태
|-
| rowspan=2 | (4,6)
| rowspan=2 | B₂Ⅱ, C₂Ⅱ
|| Spin(1,4) || <math>\operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || 0
| rowspan=2 | <math>\circ\Rightarrow\bullet</math>
| rowspan=2 | <math>\circ\Rightarrow\bullet</math>
|-
|| SO⁺(1,4) || <math>\operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H)</math> || 0 || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>
|}

== 성질 ==
=== 콤팩트 형태 ===
Spin(5)의 최소 [[스피너]]는 복소수 4차원 [[디랙 스피너]]이다. 이는 <Math>\operatorname{USp}(4)</math> 또는 <math>\operatorname U(2;\mathbb H)</math>의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서, <math>\operatorname{Spin}(4) = \operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H)</math>는 2×2 [[사원수]] [[유니터리 행렬]]의 군이다. 즉,
:<math>\{M \in \operatorname{GL}(2;\mathbb H) \colon M^\dagger M = 1_{2\times2}\}</math> 
이다. (여기서 <math>(-)^\dagger</math>는 [[에르미트 수반]]이다. 즉, [[전치 행렬]]에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 [[군의 중심]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname U(2;\mathbb H)) = \left\{
\pm1_{2\times 2}
\right\}</math>
이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 [[특수 직교군]]을 얻는다.
:<math>\operatorname{SO}(5;\mathbb R) \cong \frac{\operatorname U(2;\mathbb H)}{\{\pm1\}}</math>

<math>\operatorname U(2;\mathbb H)</math>의 실수 5차원 [[군의 표현|표현]]은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>V = \{M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb H)\colon M = M^\dagger \} = \left\{ 
\begin{pmatrix}
a& b\\
\bar b&a
\end{pmatrix} \colon a\in\mathbb R,\;b\in \mathbb H
\right\}</math>
:<math>M\cdot v = MvM^\dagger \qquad(M\in\operatorname U(2;\mathbb H),\;v\in V)</math>

=== 분할 형태 ===
Spin(2,3)은 (1,2)차원 [[민코프스키 공간]]의 [[등각군]]이다. <math>\operatorname{Spin}(2,3)</math>의 최소 [[스피너]]는 실수 4차원 [[마요라나 스피너]]이다. 이는 <math>\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)</math>의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 [[심플렉틱 군]]
:<math>\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)
=\{M\in\operatorname{GL}(4;\mathbb R) \colon M^\top JM = J\}
</math>
:<math>J = \begin{pmatrix}
0_{2\times2}&-1_{2\times2}\\
1_{2\times2}&0_{2\times2}
\end{pmatrix}</math>
에 대응한다.  이 경우, 마찬가지로 [[군의 중심]]은 <math>\{\pm1_{4\times 4}\}<\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)</math>에 해당한다.

=== 로런츠 형태 ===
이 경우는 (1,4)차원 [[민코프스키 공간]]의 [[로런츠 군]]이자 3차원 [[유클리드 공간]]의 [[등각군]]이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 [[디랙 스피너]]이다. 

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname U(1,1;\mathbb H) = \{M \in \operatorname{GL}(2;\mathbb H)\colon M^\dagger\Omega M = \Omega\}</math>
:<math>\Omega = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}</math>
이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.
:<math>V = \left\{\begin{pmatrix}
a&b\\
-b&\bar a
\end{pmatrix} \colon a\in\mathbb H,\;b\in\mathbb R\right\}</math>
:<math>M\cdot v = Mv\Omega M\Omega^{-1} \qquad(v\in V)</math>

=== 표현론 ===
이 [[리 군]]의 낮은 차원 표현들 및 그 [[영 타블로]]는 다음과 같다.

:{| class=wikitable
|-
! 표현 || SO(5) 해석 || SO(5) [[영 타블로]] || USp(4) 해석 || USp(4) [[영 타블로]]
|-
| '''4''' ||스피너
| style="line-height:1" | ■
| 벡터
| style="line-height:1" | □
|-
| '''5''' || 벡터
| style="line-height:1" | □
| 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! &minus; 1)
| style="line-height:1" | □<br>□
|-
| '''10''' || 반대칭 2-텐서 (5×4/2!)
| style="line-height:1" | □<br>□
| 대칭 2-텐서 (4×5/2!)
| style="line-height:1" | □□
|-
| '''14''' || 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! &minus; 1)
| style="line-height:1" | □□
| 4-텐서
| style="line-height:1" | □□<br>□□
|-
| '''16''' || [[라리타-슈윙거 방정식|라리타-슈윙거 장]] (4×(5&minus;1)) 
| style="line-height:1" | □■
|| 3-텐서
| style="line-height:1" | □□<br>□
|}

즉,
:<math>\mathbf4\otimes\mathbf4=\mathbf5\oplus\mathbf{10}\oplus\mathbf1</math>
:<math>\mathbf5\otimes\mathbf5=\mathbf{14}\oplus\mathbf{10}\oplus\mathbf1</math>
:<math>\mathbf4\otimes\mathbf5=\mathbf{16}\oplus\mathbf4</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[직교행렬]]
* [[직교군]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Representation Theory of SP(4) and SO(5)|저널=Journal of Mathematical Physics |권=10|쪽= 1710|날짜=1969|doi=10.1063/1.1665018| 이름=Wayne J. Ⅲ|성= Holman|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf | 제목=Sporadic isogenies to orthogonal groups | 이름=Paul | 성=Garrett | 날짜=2015-05-07 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/136702/isomorphism-between-spin3-2-and-sp4-r|제목=Isomorphism between Spin(3,2) and Sp(4, R)|웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]