4항 보조정리 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''4항 보조정리'''(四項補助定理, {{llang|en|four lemma}})는 두 [[완전열]] 사이의 사상 가운데 일부가 [[전사 사상]] 또는 [[단사 사상]]이라면 가운데의 사상 역시 [[전사 사상]] 또는 [[단사 사상]]이라는 [[보조정리]]이다.

== 정의 ==
[[아벨 범주]] 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.
:<math>\begin{matrix}
&\to&&\to&&\to\\
{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\
 &\to&&\to&&\to
\end{matrix}</math>
이 가환 그림에서, 다음이 성립한다고 하자.
* 두 행 모두 [[완전열]]이다.
* <math>a</math>는 [[전사 사상]]이다.
* <math>d</math>는 [[단사 사상]]이다.
'''4항 보조정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|13, Exercise 1.3.3}}
* 만약 <math>c</math>가 [[전사 사상]]이라면 <math>b</math> 역시 [[전사 사상]]이다.
* 만약 <math>b</math>가 [[단사 사상]]이라면 <math>c</math> 역시 [[단사 사상]]이다.
이 두 명제는 서로 쌍대이다. 즉, 둘째는 첫째를 [[반대 범주]]에서 적용한 것에 불과하다.

이는 다음과 같이 [[도롱뇽 정리]]를 써 간단히 증명된다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
우선, [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]을 추가하여, 다음과 같은 [[이중 사슬 복합체]]를 생각하자.
:<math>
\begin{matrix}
&& 0 && 0\\
&& \downarrow && \downarrow \\
 && \ker b &\to & \ker c &\to & 0 \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
A & \to & B & \to & C & \to & D\\
\downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
A' & \to & B' & \to & C' & \to & D' \\
\downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & \operatorname{coker} b &\to & \operatorname{coker} c \\
&& \downarrow && \downarrow \\
&& 0 && 0
\end{matrix}
</math>
이제, “<math>b</math> 단사 ⇒ <math>c</math> 단사”를 증명하려면, <math>_=(\ker c) \cong 0</math>임을 보이면 족하다.

이는 다음과 같은 교외 사상 및 교내 사상으로 구성된 [[동형 사상]]으로 주어진다.
:<math>
\begin{matrix}
&& 0 && 0\\
&&  &&  \\
&& \bullet && \underset{=\to\square}\bullet && 0 \\
&&  && \swarrow \\
\bullet &  & \bullet_\square & \nearrow & ^\square\bullet &  & \bullet\\
 && \swarrow &&  &&  \\
\bullet_\square & \nearrow & ^\square\bullet &  & \bullet &  & \bullet \\
\swarrow  && &&  \\
^\square 0 && \bullet && \bullet\\
&&  &&  \\
&& 0 && 0
\end{matrix}
</math>
</div></div>

=== 5항 보조정리 ===
4항 보조정리를 양쪽에 적용하여, 다음과 같은 '''5항 보조정리'''(五項補助定理, {{llang|en|five lemma}})를 적을 수 있다.
[[아벨 범주]] 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.
:<math>\begin{matrix}
&\to&&\to&&\to&&\to\\
{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow&&{\scriptstyle e}\downarrow\\
 &\to&&\to&&\to&&\to
\end{matrix}</math>
이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.
* 두 행 모두 [[완전열]]이다.
* <math>a</math>는 [[전사 사상]]이다.
* <math>e</math>는 [[단사 사상]]이다.
* <math>b</math>와 <math>d</math>는 [[동형 사상]]이다.
'''5항 보조정리'''에 따르면, <math>c</math> 역시 [[동형 사상]]이다. 이는 4항 보조정리를 왼쪽 열을 제거한 부분 도형과 오른쪽 열을 제거한 부분 도형에 각각 적용한 것에 불과하다.

5항 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
0\to&&\to&&\to&&\to0\\
&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\
0\to&&\to&&\to&&\to0
\end{matrix}</math>
'''짧은 5항 보조정리'''(-五項補助定理, {{llang|en|short five lemma}})에 따르면, 만약 각 행이 [[짧은 완전열]]이며 <math>b</math>, <math>d</math>가 [[동형 사상]]이라면 <math>c</math> 역시 [[동형 사상]]이다. 짧은 5항 보조정리는 또한 ([[아벨 범주]]가 아닌) [[군 (수학)|군]]의 범주에서도 성립한다.

== 역사 ==
4·5항 보조정리는 보조정리에 등장하는 가환 그림이 각각 4×2 또는 5×2개의 대상을 포함하기 때문에 이렇게 명명되었다.

[[데이비드 앨빈 북스바움]]은 1955년 논문<ref>{{저널 인용 | last=Buchsbaum | first=David Alvin | 저자링크=데이비드 북스바움 | title=Exact categories and duality | jstor=1993003 | mr=0074407 | year=1955 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=80 | issue=1 | pages=1–34 | doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 | zbl = 0065.25502 |언어=en}}</ref>에서 [[아벨 범주]]의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 5항 보조정리는 보조정리 5.9로 등장한다.

== 같이 보기 ==
* [[뱀 완전열]]
* [[이중 사슬 복합체]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=FourLemma|title=Four lemma}}
* {{매스월드|id=FiveLemma|title=Five lemma}}
* {{nlab|id=four lemma|title=Four lemma}}
* {{nlab|id=five lemma|title=Five lemma}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Five_Lemma|제목=Five lemma|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/2695/some-intuition-behind-the-five-lemma|제목=Some intuition behind the five lemma?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://sbseminar.wordpress.com/2007/11/13/anton-geraschenko-the-salamander-lemma/|제목=The salamander lemma|웹사이트=Secret Blogging Seminar|날짜=2007-11-13|이름=Anton|성=Geraschenko|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/10/01/the-five-lemma/|제목=The five lemma|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|날짜=2007-10-01|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/09/27/short-exact-sequences/|제목=Short exact sequences|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|날짜=2007-09-27|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:보조정리]]