2차원 𝒩=1 초등각 장론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]에서, '''2차원 <math>\mathcal N=1</math> 초등각 장론'''(二次元<math>\mathcal N=1</math>超等角場論, {{llang|en|two-dimensional <math>\mathcal N=1</math> superconformal theory}})은 하나의 [[초대칭]]을 가지는 [[2차원 등각 장론]]이다. [[끈 이론]]에서 중요한 역할을 한다.

== 𝒩=1 초등각 대수 ==
2차원 <math>\mathcal N=1</math> 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.
* <math>G_r</math>. 이는 <math>h=3/2</math> [[비라소로 대수]] 1차장인 '''초전류'''({{llang|en|supercurrent}}) <math>Q(z)</math>의 모드 전개이다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건의 경우 <math>r\in\mathbb Z+1/2</math>이며, 라몽(R) 경계 조건의 경우 <math>r\in\mathbb Z</math>이다.
* <math>L_n</math>. 이는 <math>h=2</math> [[비라소로 대수]] 준1차장인 '''[[에너지-운동량 텐서]]''' <math>T(z)</math>의 모드 전개이며, <math>n\in\mathbb Z</math>이다.
* <math>c</math>는 중심 원소이며, '''중심 전하'''({{llang|en|central charge}})라고 한다.

이들은 다음과 같은 [[교환자 (환론)|교환자]]를 갖는다.
:''c''는 모든 원소와 가환
:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n} +\frac c{12} (m^3-m) \delta_{m+n,0}</math>
:<math>[L_m,G_r]=(m/2-r) G_{r+m}</math>
:<math>\{G_r,G_s\}=2L_{r+s} +\frac c3(r^2-1/4) \delta_{r+s,0}</math>
이 대수는 다음과 같은 <math>\mathbb Z/2</math> [[R대칭]]을 갖는다.
:<math>L_m\mapsto L_m</math>
:<math>G_r\mapsto -G_r</math>
:<math>c\mapsto c</math>

=== 대역적 대수 ===
NS 대수에서, <math>L_0</math>, <math>L_{\pm1}</math>, <math>G_{\pm1/2}</math>는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭의 리 초대수이다.

R 대수에서, <math>L_0</math>, <math>G_0</math>, <math>c</math>는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.
:<math>[L_0,G_0]=[L_0,L_0]=0</math>
:<math>\{G_0,G_0\}=2(L_0-c/24)</math>

== 표현 ==
[[비라소로 대수]]의 경우와 마찬가지로, <math>\mathcal N=1</math> 초등각 대수의 기약 표현은 '''초1차장'''(超一次場, {{llang|en|superprimary field}}) 위에 [[사다리 연산자]]들의 작용으로 구성된다.<ref name="BP">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|이름2=Erik|성2=Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|bibcode=2009LNP...779.....B|mr=2848105|언어=en}}</ref>{{rp|174–175}}<ref name="Polchinski">{{서적 인용|이름=Joseph|성=Polchinski|저자링크=조지프 폴친스키|제목=String theory. Volume 2: Superstring theory and beyond|ISBN=978-0521633048|doi=10.2277/0521633044|출판사=Cambridge University Press|연도=1998|bibcode=1998stth.book.....P|zbl=1006.81522|언어=en}}</ref>{{rp|254–255}} 초1차장은 다음을 만족시키는 상태이다.
:<math>L_n|\phi\rangle=G_r=0\qquad\forall n,r>0</math>
초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.
:<math>L_{-n_1}L_{-n_2}\cdots L_{-n_k}G_{-r_1}G_{-r_2}\cdots G_{-r_p}|\phi\rangle\qquad(0<n_1\le n_2\le\cdots\le n_k,\;0<r_1<r_2<\cdots<r_p</math>
여기서 <math>r_i<r_{i+1}</math>인 것은
:<math>G_r^2=L_{2r}-\frac c{24}\delta_{r,0}</math>
이기 때문이다.

라몽 경계 조건에서 <math>G_0</math>의 경우,
:<math>G_0^2=L_0-c/24</math>
이므로, 무게가 <math>h</math>인 비라소로 1차장을
:<math>G_0|h\rangle=\pm\sqrt{h-c/24}|h\rangle</math>
가 되게 대각화할 수 있다.

유니터리 표현의 경우, 가능한 무게들은 다음과 같다.<ref name="Polchinski"/>{{rp|254–255}}
* <math>c\ge3/2</math>인 경우: <math>h\ge0</math> (NS), <math>h\ge c/24</math> (R)
* <math>0<c<3/2</math>인 경우:
:<math>c_k=\frac32-\frac{12}{m(m+2)}</math>
:<math>h_{r,s}=\frac{(r(m+2)-sm)^2-4}{8m(m+2)}+\begin{cases}0&\text{NS}\\1/16&\text{R}\end{cases}\qquad(1\le r\le m-1,\;1\le s\le m+1)</math>
후자의 경우는 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]에 등장한다.

== 예 ==
<math>c<3/2</math>인 유니터리 <math>\mathcal N=1</math> 초등각 장론들은 완전히 분류되었고, 이들을 '''[[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]'''이라고 한다.

자유 마요라나-바일 [[페르미온]] <math>\psi</math>(<math>(h,\bar h)=(1/2,0),(0,1/2)</math>)과 자유 실수 [[보손]] <math>\partial\phi</math> (<math>(h,\hbar)=(1,0),(0,1)</math>)으로 구성된 자유 장론은 <math>c=3/2</math>인 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 비라소로 1차장들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기호 !! 무게 <math>h</math> !! 설명
|-
| <math>1</math> || 0 || 진공
|-
| <math>Q=\psi\partial\phi</math> || 3/2 || 초전류 (1에 <math>G_{-3/2}</math>를 가하여 얻음)
|-
| <math>\psi</math> || ½ || 페르미온
|-
| <math>\partial\phi</math> || 1 || 보손 (<math>\psi</math>에 <math>G_{-1/2}</math>를 가하여 얻음)
|}
즉, 두 개의 초1차장 <math>1</math>, <math>\psi</math>를 갖는다.

== 응용 ==
[[초끈 이론]]에서, 초끈의 [[세계면]] 이론은 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 초등각 장론 (2종 초끈) 또는 <math>\mathcal N=(1,0)</math> 초등각 장론 ([[잡종 끈 이론|잡종 끈]])을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=4 초등각 장론]]
* [[끈 이론]]
* [[2차원 등각 장론]]
* [[초대칭]]
* [[최소 모형 (등각 장론)]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:초대칭]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:경계 조건]]