2차원 실수 특수선형군 문서 원본 보기

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'''2차원 실수 특수선형군'''(二次元實數特殊線型群, {{llang|en|2×2 real special linear group}}) <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 [[리 군]]이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 [[민코프스키 공간]]의 [[로런츠 군]]으로 여길 수 있다.

== 정의 ==
다음과 같은 [[리 군]]들은 서로 [[동형]]이다.
* 2×2 실수 [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>
* 2×2 실수 [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)</math>
* 부정부호 [[특수 유니터리 군]] <math>\operatorname{SU}(1,1)</math>
* '''분할 사원수 대수'''({{llang|en|split-quaternion algebra}}) <math>\left(\bigwedge(i\mathbb R\oplus j\mathbb R\oplus k\mathbb R)\right)/(ij-k,jk+i,ki-j)</math>에서, 절댓값을 <math>|a+ib+jc+kd|^2=a^2+b^2-c^2-d^2</math>로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군
* 3차원 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}^+(2,1)</math>

다음과 같은 [[리 군]]들은 서로 [[동형]]이다.
* 2×2 실수 사영 특수선형군 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>. 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>에서, [[군의 중심|중심]] <math>\{\pm1_{2\times2}\}</math>에 대한 [[몫군]]이다.
* 복소수 단위 원판 <math>\mathbb D=\{z\in\mathbb C\colon|z|<1\}</math>의 등각 [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb D)</math>
* [[뫼비우스 변환]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math> 가운데, 복소수 [[상반평면]] <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math>을 보존하는 부분군
* 실수 [[사영 직선]] <math>\mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}</math>의 [[방향 (다양체)|방향]] 보존 사영 변환군
* 3차원 [[로런츠 군]]의 연결 성분 <math>\operatorname{SO}^+(2,1)</math>

=== 실수 사영 직선 위의 작용 ===
<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>는 실수 사영 직선 <math>\mathbb{RP}^1=\mathbb R\cup\{\infty\}</math> 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon \mathbb R\cup\{\infty\}\to\mathbb R\cup\{\infty\}</math>
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}</math>

=== 상반평면 위의 작용 ===
<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>는 복소수 [[상반평면]] <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math> 위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon\mathbb H\to\mathbb H</math>
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>
이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.

=== 딸림표현 ===
<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>는 3차원 리 군이며, 따라서 <math>\mathbb R^3</math> 위에 [[딸림표현]]을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math>
:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a^2 & 2ac & c^2 \\ ab & ad+bc & cd \\ b^2 & 2bd & d^2 \end{pmatrix}</math>
이는 [[단사 함수]]이다.

<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>의 [[킬링 형식]]의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>와 [[로런츠 군]] <math>\operatorname{SO}^+(2,1)</math> 사이의 동형을 정의한다.

== 성질 ==
=== 켤레류 ===
<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 임의의 원소 <math>M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다.
* <math>|\operatorname{tr}M|<2</math>인 경우: <math>\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}</math>, <math>\theta\in[0,2\pi)</math>. 이러한 경우를 '''타원형 원소'''(楕圓型元素, {{llang|en|elliptic element}})라고 한다.
* <math>\operatorname{tr}M=\pm2</math>인 경우: <math>\pm\begin{pmatrix}1&s\\0&1\end{pmatrix}</math>, <math>s\in\{-1,0,+1\}</math>. 이러한 경우를 '''포물선형 원소'''(抛物線型元素, {{llang|en|parabolic element}})라고 한다.
* <math>\pm\operatorname{tr}M>2</math>인 경우: <math>\pm\operatorname{diag}(\exp(t),\exp(-t))</math>,<math>t\in\mathbb R^+</math>. 이러한 경우를 '''쌍곡선형 원소'''(雙曲線型元素, {{llang|en|hyperbolic element}})라고 한다.

=== 대수학적 성질 ===
<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 [[비가산 집합|비가산]] 군이며, [[아벨 군]]이 아니다.

<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 [[군의 중심|중심]]은 <math>\{\pm1_{2\times2}\}</math>이며, 이에 대한 [[몫군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>는 [[단순군]]이다. <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>의 [[이산군 (수학)|이산 부분군]]은 '''[[푹스 군]]'''이라고 하며, [[모듈러 군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>이 대표적인 예이다.

[[원군]] <math>\operatorname{SO}(2)</math>는 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}^+(2,1)</math>의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 극대 콤팩트 부분군이다.

=== 위상수학적 성질 ===
<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>와 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 둘 다 [[연결 공간|연결]] 3차원 [[매끄러운 다양체]]이며, [[콤팩트 공간]]이 아니다.

위상수학적으로, <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>는 상반평면 <math>\mathbb H</math>의 접다발 <math>T\mathbb H</math> 속의 단위 벡터로 구성되는 [[원다발]]의 전체 공간과 위상동형이다. <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 이 [[원다발]]의 두 겹 [[피복 공간]]이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.

<math>\mathbb H</math>는 [[축약 가능 공간]]이며, 따라서 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>와 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 원 <math>\mathbb S^1</math>과 [[호모토피 동치]]이다. 즉, 그 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.
:<math>\pi_n(\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\cong\pi_n(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\cong\begin{cases}1&n\ne1\\\mathbb Z&n=1\end{cases}</math>

[[범피복 공간]] <math>\widetilde{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}</math>에 왼쪽 곱셈 불변 [[리만 계량]]을 부여한다면, 이는 [[기하화 추측]]에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.

=== 표현론 ===
==== 유한 차원 표현 ====
<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 유한 차원 표현론은 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수 <math>n=0,1,\dots</math>에 대하여 <math>2n+1</math>차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 (<math>n=0</math>인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.

==== 무한 차원 표현 ====
<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 무한 차원 표현론은 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 경우와 전혀 다르다. <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 무한 차원 기약 허용 표현({{llang|en|admissible representation}})은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.
* 모든 0이 아닌 정수 <math>\mu\in\mathbb Z\setminus\{0\}</math>에 대하여, '''이산열 표현'''(離散列表現, {{llang|en|discrete series representation}}) <math>D_\mu</math>
* 이산열 표현의 극한 <math>D_{+0}</math>, <math>D_{-0}</math>
* '''주열 표현'''(主列表現, {{llang|en|principal series representation}}) <math>I_{\epsilon,\mu}</math>, <math>\mu\in\mathbb C</math>, <math>\epsilon\in\{\pm1\}</math>, <math>\epsilon\ne-(-1)^\mu</math>. <math>I_{\epsilon,\mu}</math>는 <math>I_{\epsilon,-\mu}</math>와 동형이다.
이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.
* 모든 이산열 표현 <math>D_\mu</math> 및 극한 <math>D_{\pm0}</math>
* 주열 표현 <math>I_{\pm,i\mu}</math>, <math>\mu\in\mathbb R</math>
* 주열 표현 <math>I_{+,\mu}</math>, <math>0<|\mu|<1</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Serge|성=Lang|저자링크=서지 랭|제목=SL<sub>2</sub>('''R''')|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=105|출판사=Springer|날짜=1985|isbn=978-1-4612-9581-5|doi=10.1007/978-1-4612-5142-2|zbl=0583.22001|판=2|언어=en}}
* {{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200711/tx071101458p.pdf|제목=Starting with the group ''SL''<sub>2</sub>(R)|이름=Vladimir V.|성=Kisil|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2007-12|권=54|호=11|zbl=1137.22006|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/sl2/|제목=SL<sub>2</sub>(R): a two-week minicourse at the University of Utah, May 21–June 2, 2006|이름=Bill|성=Casselman|이름2=Dragan|성2=Milicic |이름3=Peter|성3=Trapa|날짜=2006|출판사=[[유타 대학교]]|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Special_linear_group:SL%282,R%29|제목=Special linear group: SL(2,R) | 작품=Groupprops|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[뫼비우스 변환]]
* [[모듈러 군]]
* [[푹스 군]]
* [[3차원 직교군]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]