힐 사면체 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''힐 사면체'''({{llang|en|Hill tetrahedra}})는 [[공간 채우기 다면체|공간 채우기]] [[사면체]]족이다. 1896년에 [[유니버시티 칼리지 런던]]의 [[수학]] 교수 [[미카야 존 뮐러 힐|M. J. M. Hill]]이 발견했으며, 힐 사면체가 [[정육면체]]와 [[힐베르트의 세 번째 문제|가위 합동]]이라는 것을 밝혔다.

== 구성 ==
모든 <math>\alpha \in (0,2\pi/3)</math>에 대해서 <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb R^3</math>을 그 사잇각이 <math>\alpha</math>인 세 단위벡터로 정의하자. ''힐 사면체'' <math>Q(\alpha)</math>는 다음과 같이 정의한다:
:<math> Q(\alpha) \, = \, \{c_1 v_1+c_2 v_2+c_3 v_3 \mid 0 \le c_1 \le c_2 \le c_3 \le 1\}.</math>
<math>Q(\pi/2)</math>인 특별한 경우는 일반적으로 <math>Q</math>라고 부르며 사면체의 모든 면이 직각삼각형으로, 두 면은 <math>(1,1,\sqrt{2})</math>이고 다른 두 면은 <math>(1,\sqrt{2},\sqrt{3})</math>이다. [[루트비히 슐레플리]](Ludwig Schläfli)는 <math>Q</math>를 [[Schläfli orthoscheme|orthoscheme]]의 특별한 경우로 연구하였고, [[해럴드 맥도날드 스콧 콕서터|콕서터]]는 <math>Q</math>를 정육면체 공간채우기의 특성 사면체라고 불렀다.

== 특성 ==
* 정육면체는 6개의 <math>Q</math>로 채울 수 있다.
* 모든 <math>Q(\alpha)</math>는 세 다포체로 [[분할 (기하학)|분할]]해서 [[각기둥]]으로 바꿀 수 있다.

== 일반화 ==
1951년에 [[후고 하트비거]](Hugo Hadwiger)는 힐 사면체를 다음과 같이 ''n''차원으로 일반화하였다.

: <math> Q(w) \, = \, \{c_1 v_1+\cdots +c_n v_n \mid  0 \le c_1 \le \cdots \le c_n \le 1\},
</math>

이 때 벡터 <math>v_1,\ldots,v_n</math>는 모든 <math>1\le i< j\le n</math>에 대해서 <math>(v_i,v_j) = w</math>를 만족하고 <math>-1/(n-1)< w < 1</math>이다. 하트비거는 이와 같은 모든 [[단체 (수학)|단체]]는 [[초입방체]]와 가위 합동이라는 것을 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[Schläfli orthoscheme]]
== 참고 문헌 ==
* M. J. M. Hill, Determination of the volumes of certain species of tetrahedra without employment of the method of limits, ''Proc. London Math. Soc.'', 27 (1895–1896), 39–53.
* [[Hugo Hadwiger|H. Hadwiger]], Hillsche Hypertetraeder, ''Gazeta Matemática (Lisboa)'', 12 (No. 50, 1951), 47–48.
* [[H.S.M. Coxeter]], [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa18/aa18132.pdf Frieze patterns], ''Acta Arithmetica'' '''18''' (1971), 297&ndash;310.
* E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, ''J. Geom.'' 71 (2001), no. 1&ndash;2, 68&ndash;77.
* Greg N. Frederickson, ''Dissections: Plane and Fancy'', Cambridge University Press, 2003.
* [[Neil Sloane|N.J.A. Sloane]], V.A. Vaishampayan, ''[http://arxiv.org/pdf/0710.3857 Generalizations of Schobi’s Tetrahedral Dissection]'', [[arXiv]]:0710.3857.

== 외부 링크 ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/ThreePieceDissectionOfAHillTetrahedronIntoATriangularPrism Three piece dissection of a Hill tetrahedron into a triangular prism]

[[분류:다면체]]