힐베르트 행렬 문서 원본 보기

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[[선형 대수학]]에서 [[힐베르트]](Hilbert , 1894 )에 의해 소개된 '''힐베르트 행렬'''(Hilbert matrix)은 엔트리 성분이 [[단위 분수]]인 [[정사각 행렬]]이다.

:<math> H_{ij} = \frac{1}{i+j-1} </math>

예를 들어, 이것은 5 × 5 힐베르트 매트릭스 [[행렬]]이다.

:<math>H = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{pmatrix}</math>

힐베르트 행렬은 적분으로부터 유도된 것으로 간주 될 수있다.

:<math> H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx </math>


== 특성 ==
힐베르트 행렬은 [[한켈 행렬]]의 예이다. [[코시 행렬]]의 특정 예이기도 하다.

또한 힐베르트 행렬은 [[대칭행렬]]이다.

== 성질 ==

:<math>\det(H)={{c_n^{\;4}}\over {c_{2n}}}</math>

:<math>c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!</math>
힐버트 (Hilbert)는 힐버트 행렬의 행렬식이 정수의 역수라는 흥미로운 사실을 이미 언급했다.<ref>[[OEIS]]의 A005249</ref>


: <math>{1 \over \det (H)}={{c_{2n}}\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}
</math>

또한 동일성에서 [[계승 (수학)|팩토리얼]]에 대한 [[스털링 근사]]를 사용하면 다음과 같은 점근선 결과를 얻을 수 있다.

:<math>\det(H)=a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}</math>

여기서 a<sub>n</sub> 은 상수로 수렴한다.
:<math>n\rightarrow\infty</math> 일 때 <math>e^{1/4} 2^{1/12} A^{ - 3} \approx 0.6450 </math>과 같다.
여기서 A는 [[글레이셔-킨켈린 상수]]이다.

힐베르트 행렬의 역함수는 [[이항 계수]]를 사용하여 [[닫힌 형태]]로 나타낼 수 있다. 이것의 입장이라면,

:<math>(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2</math>

여기서 n 은 행렬의 차수이다<ref>{{저널 인용|last=Choi|first=Man-Duen|date=1983|title=Tricks or Treats with the Hilbert Matrix|url=http://www.jstor.org/stable/2975779|journal=The American Mathematical Monthly|volume=90|issue=5|pages=301–312|doi=10.2307/2975779}}</ref> 따라서 역행렬의 엔트리는 모두 정수이다.

n -by-H 힐버트 행렬의 조건 수는 다음과 같이 증가한다.
:<math>O((1+\sqrt{2})^{4n}/\sqrt{n})</math>

== 같이 보기 ==
* [[반대각 대칭행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertMatrix.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/G-Function.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/Glaisher-KinkelinConstant.html 매스월드]

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]
[[분류:근사 이론]]