히친 계 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]과 [[물리학]]에서 '''히친 계'''({{lang|en|Hitchin system}})는 [[양-밀스 이론]]의 [[순간자]]를 수학화한 [[적분가능계]]이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[리만 곡면]] <math>M</math>
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G</math>
* <math>M</math> 위의 <math>G</math>-[[정칙 벡터 다발]] (<math>G</math>-[[주다발]]의 [[연관 벡터 다발]]) <math>E \twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla_A</math>. 그 곡률을 <math>F = \mathrm dA + A \wedge A</math>라고 하자.
* <math>M</math> 위의 (1,0)차 [[복소수 미분 형식]] <math>\Phi \in \Omega^{1,0}(M) \otimes \mathfrak{lie}(G)</math>. 이를 '''[[힉스 장]]'''이라고 한다.
그렇다면 '''히친 방정식'''({{llang|en|Hitchin equation}})은 다음과 같다.
:<math>F_A+[\Phi\wedge\Phi]=0</math>
:<math>d_A\Phi=0</math>.
여기서 <math>d_A=d+A\wedge</math>는 [[공변 미분]]이고, <math>*</math>는 [[호지 쌍대]]이다.

여기서, <math>F+\Phi+\Phi^*</math>는 <math>G^{\mathbb C}</math>-주다발의 [[주접속]]으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은 <math>G^{\mathbb C}</math>-주다발 [[주접속]]이 [[평탄 주접속]]임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터 <math>(A,\Phi)</math>를 '''히친 쌍'''({{llang|en|Hitchen pair}})이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정 <math>G</math>-벡터 다발들의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal N(\Sigma,G)</math>의 [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)</math>과 표준적으로 동형이며, 따라서 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다.

이제, <math>G</math>의 임의의 <math>k</math>차 [[불변 다항식]] <math>p \colon \mathfrak g \to \mathbb R</math>을 생각하자. 그렇다면,
:<math>p(\Phi) \in \operatorname H^0(K^k)</math>
를 취할 수 있다. 여기서 <math>K</math>는 <math>M</math>의 (1,0)차 [[복소수 미분 형식]]의 복소수 선다발(즉, [[표준 선다발]])이다. 따라서, [[복소수 벡터 공간]]
:<math>\bigoplus_{k\in\mathbb N}\operatorname H^0(K^k)</math>
의 임의의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 취하면, <math>\mathrm T^*\mathcal N(\Sigma,G)</math> 위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는 <math>\mathcal N(\Sigma,G)</math>의 차원과 같으며, 이들은 또한 [[푸아송 괄호]] 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 [[해밀토니언]]들로 삼았을 때, 이는 [[적분가능계]]를 이룬다. 이 [[적분가능계]]를 '''히친 계'''라고 한다.

== 역사 ==
[[나이절 히친]]이 1987년 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Hitchin | first=N. J. | 저자링크=나이절 히친 | title=The self-duality equations on a Riemann surface | url=http://text.new.ox.ac.uk/system/files/SDE.pdf | doi=10.1112/plms/s3-55.1.59 | mr=887284 | year=1987 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | issn=0024-6115 | volume=55 | issue=1 | pages=59–126 | 언어=en }}{{깨진 링크|url=http://text.new.ox.ac.uk/system/files/SDE.pdf }}</ref><ref>{{저널 인용|title=Stable bundles and integrable systems
|journal=Duke Mathematical Journal
|publisher=Duke University Press
|volume= 54| issue = 1  |year= 1987
|doi=10.1215/S0012-7094-87-05408-1
|pages=91&ndash;114
|first=Nigel |last=Hitchin|저자링크=나이절 히친 | 언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[양-밀스 방정식]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | last=Ngô | first=Bao Châu | 저자링크=응오바오쩌우 | title=International Congress of Mathematicians. Vol. II | url=http://mathunion.org/ICM/ICM2006.2/ | publisher=European Mathematical Society | 위치=[[취리히|Zürich]] | mr=2275642 | year=2006 | chapter=Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces | pages=1213–1225 | 언어=fr | 확인날짜=2013-03-04 | 보존url=https://web.archive.org/web/20120315001421/http://mathunion.org/ICM/ICM2006.2/ | 보존날짜=2012-03-15 | url-status=dead }}
*{{저널 인용 | last=Ngô | first=Bao Châu|저자링크=응오바오쩌우 | title=Fibration de Hitchin et endoscopie | doi=10.1007/s00222-005-0483-7 | mr=2218781 | year=2010 | journal={{lang|la|Inventiones Mathematicae}} | issn=0020-9910 | volume=164 | issue=2 | pages=399–453|언어=fr}}
*{{저널 인용 | last=Gothen | first=Peter B. | 공저자=Oscar García-Prada , Steven B. Bradlow  | title=What is … a Higgs bundle? | url=http://www.ams.org/notices/200708/tx070800980p.pdf | mr=2343296 | year=2007 | journal=Notices of the American Mathematical Society | issn=0002-9920 | volume=54 | issue=8 | pages=980–981|언어=en}}
*{{저널 인용 | last=Simpson | first=Carlos T. | title=Higgs bundles and local systems | url=https://archive.org/details/publicationsmath_no75 | mr=1179076 | year=1992 | journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS | issn=1618-1913 | issue=75 | pages=[https://archive.org/details/publicationsmath_no75/page/n8 5]–95|언어=en|doi=10.1007/BF02699491}}
* {{저널 인용|제목=Global topology of the Hitchin system|이름=Tamás|성=Hausel|arxiv=1102.1717|bibcode=2011arXiv1102.1717H|날짜=2011|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Hitchin systems at low genera|이름=Krzysztof|성=Gawędzki|공저자=Pascal Tran-Ngoc-Bich|doi=10.1063/1.533372|arxiv=hep-th/9803101|bibcode=2000JMP....41.4695G|mr=1765854|zbl=0974.32009|저널={{lang|en|Journal of Mathematical Physics}}|권=41|호=7|쪽=4695–4712|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{SpringerEOM|id=Hitchin_system|제목=Hitchin system|이름= Emma |성=Previato}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:리 군]]