히르체브루흐-리만-로흐 정리 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''히르체브루흐-리만-로흐 정리'''({{llang|en|Hirzebruch–Riemann–Roch theorem}})는 [[리만-로흐 정리]]를 임의의 차원의 [[복소다양체]] 위의 일반적인 [[해석적 벡터다발]]로 일반화한 정리다.

== 정의 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[복소다양체]] <math>X</math> 위에 [[해석적 벡터다발]] <math>E\to X</math>가 있다고 하자. 그렇다면 <math>E</math>의 [[코호몰로지]]와, 이에 대응하는 [[오일러 지표]] <math>\chi(E)</math>를 정의할 수 있다. '''히르체브루흐-리만-로흐 정리'''에 따르면, 이는 다음과 같다.
:<math>\chi(E)=\int_X\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(X)</math>
여기서 <math>\operatorname{ch}(E)</math>는 <math>E</math>의 [[천 지표]], <math>\operatorname{Td}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[접다발]]의 [[토드 특성류]]다.

== 예 ==
<math>X</math>가 [[리만 곡면]]이라고 하고, <math>E\to X</math> 가 [[인자 (대수기하학)|인자류]] <math>[D]</math>에 대응하는 해석적 [[선다발]]이라고 하자. 그렇다면
:<math>\chi(E)=h^0(E)-h^1(E)</math>
:<math>\operatorname{ch}(E)=1+c_1(E)</math>
:<math>\operatorname{Td}(X)=1+c_1(X)/2</math>
이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는
:<math>h^0(E)-h^1(E)=\int_X(c_1(E)+c_1(X)/2)</math>
이다. 복소1차원에서, [[오일러 특성류]]는 <math>c_1</math>이므로, <math>c_1(X)</math>는 <math>X</math>의 [[오일러 지표]]
:<math>\int_Xc_1(X)=\chi(X)=2-2g</math>
이다. 여기서 <math>g</math>는 <math>X</math>의 종수(genus)다. 또한,
:<math>\int_Xc_1(E)=\deg D</math>
이다. 또한,
:<math>h^0(E)=I(D)</math>
이고, [[세르 쌍대성]]에 의하여
:<math>h^1(E)=h^0(\mathcal O(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)</math>
(<math>K</math>는 [[표준 선다발]]의 인자)이므로, 리만-로흐 정리
:<math>I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g</math>
를 얻는다.

=== 오일러 지표 ===
복소수 <math>n</math>차원 콤팩트 [[켈러 다양체]] <math>M</math>의 경우, [[오일러 지표]]는 [[돌보 코호몰로지]]를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,
:<math>\chi(M)=\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum_n(-1)^p\chi\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)</math>
이다. 여기서 <math>h^{p,q}(M)</math>는 [[호지 수]]이며, <math>T_{\mathbb C}^*M</math>은 <math>M</math>의 복소수 [[공변접다발]]이다.

분할 원리({{llang|en|splitting principle}})에 따라, <math>T_{\mathbb C}M</math>을 구성하는 복소수 [[선다발]]들의 1차 [[천 특성류]]가
:<math>(x_i)_{i=1,\dots,n}</math>
라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 <math>-x_i</math>이다. 그렇다면,
:<math>\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M</math>
의 천 지표는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)=\sum_{I\subseteq\{1,2,\dots,n\}}^{|I|=p}\prod_{i\in I}\exp(-x_i)</math>
즉,
:<math>\sum_{p=0}^n(-1)^p\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)=\prod_{i=1}^n(1-\exp(-x_i))</math>
이다. 따라서, <math>M</math>의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>\chi(M)=\int_M\operatorname{Td}(TM)\sum_{p=0}^n(-1)^p\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)
=\int_M\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}(1-\exp(-x_i))
=\int_M\prod_{i=1}^nx_i=\int_Mc_n(TM)</math>
즉, <math>M</math>의 최고차 [[천 특성류|천 수]]이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 [[오일러 특성류]]와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.

== 역사 ==
[[프리드리히 히르체브루흐]]가 1954년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=F.|성=Hirzebruch|제목=Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences|권=40|호=2|날짜=1954-02-01|쪽=110–114|doi=10.1073/pnas.40.2.110|issn=0027-8424|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[아티야-싱어 지표 정리]]
* [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:복소기하학 정리]]