후르비츠 제타 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''후르비츠 제타 함수'''({{llang|en|Hurwitz zeta function}})는 [[리만 제타 함수]]의 일반화이다. 리만 제타 함수와 마찬가지로 함수 방정식을 만족시키고, 유리수에서는 [[디리클레 L-함수]]로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
후르비츠 제타 함수는 <math>\operatorname{Re}(s)>1</math>, <math>\operatorname{Re}(q)>0</math>인 경우 다음과 같은 [[급수 (수학)|급수]]로 정의된다.
:<math>\zeta(s,q)=\sum_{n=0}^\infty(n+q)^{-s}</math>
이 함수는 <math>s\ne1</math>인 임의의 <math>s</math>에 대하여 [[해석적 연속]]으로 확장할 수 있다. <math>q=1</math>인 경우는 [[리만 제타 함수]]가 된다.

== 성질 ==
<math>s=1</math>에서 후르비츠 제타 함수는 [[유수 (복소해석학)|유수]]가 1인 [[단순극]]을 가지며, 상수항은 다음과 같다.
:<math>\zeta(s,q)=\frac1{s-1}-\psi(q)+O(s-1)</math>
여기서 <math>\psi(q)</math>는 [[폴리감마 함수|디감마함수]]이다.

=== 함수 방정식 ===
후르비츠 제타 함수는 다음과 같은 '''함수 방정식'''({{llang|en|functional equation}})을 만족시킨다. 모든 정수 <math>1\le m\le n</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) =
\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s }
\sum_{k=1}^n \left[\cos
\left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\;
\zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\right]</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|장=Basic zeta functions and some applications in physics|이름=Klaus|성=Kirsten|arxiv=1005.2389|제목=A Window into Zeta and Modular Physics|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=57|날짜=2010|언어=en|bibcode=2010arXiv1005.2389K|출판사=Cambridge University Press}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HurwitzZetaFunction|title=Hurwitz zeta function}}
* {{수학노트|title=후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]