회전수 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''회전수'''(回轉數, {{llang|en|rotation number}})는 원의 자기 위상 동형을 분류하는 불변량이다. 대략, 원에 대한 시간당 평균 회전 각도이다.

== 정의 ==
실직선의 자기 위상 동형 <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>F(x+n)=F(x)+n\qquad\forall n\in\mathbb N</math>
이라고 하자. 그렇다면, <math>F</math>의 '''회전수''' <math>\omega(F)</math>는 다음과 같다.
:<math>\omega(F)=\lim_{n\to\infty}\frac{F^n(x)-x}n\in\mathbb R</math>
여기서
:<math>F^n=\overbrace{F\circ\cdots\circ F}^n</math>
이다. 이 [[극한]]은 항상 존재하며, <math>x\in\mathbb R</math>에 상관없다는 것을 보일 수 있으며, 이는 [[앙리 푸앵카레]]가 증명하였다.

<math>F</math>의 주기성으로 인하여, 이로부터 [[원 (기하학)|원]]의 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하는 [[자기 동형|자기]] [[위상 동형]] <math>f\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>f</math>의 '''회전수''' <math>\omega(f)\in\mathbb R/\mathbb Z</math>는 <math>F</math>의 회전수와 같다. 이 경우, <math>F</math>와 <math>n+F</math>는 같은 <math>f</math>에 대응하지만 회전수가 정수 <math>n</math>만큼 다르므로, <math>f</math>의 회전수는 <math>\mathbb R/\mathbb Z</math>의 원소이다. 예를 들어, <math>\omega(x\mapsto x+\theta)=\theta</math>이다.

== 성질 ==
회전수 <math>\omega</math>는 원의 방향 보존 자기 위상 동형들의 군 <math>\operatorname{Homeo}^+(\mathbb S^1)</math>에서 [[원군]] <math>\mathbb S^1\cong\mathbb R/\mathbb Z</math>으로 가는 [[군 준동형]]이다. 만약 <math>\operatorname{Homeo}^+(\mathbb S^1)</math>에 <math>\mathcal C^0</math> 위상을 주어 [[위상군]]으로 만들면, 회전수는 [[연속 함수]]이다.

원의 두 방향 보존 자기 위상 동형 <math>f,g\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math> 및 [[연속 함수]] <math>h\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>에 대하여, 만약
:<math>h\circ f=g\circ h</math>
라면
:<math>\omega(f)=\omega(g)</math>
이다.

=== 원의 자기 위상 동형의 분류 ===
[[앙리 푸앵카레]]와 [[아르노 당주아]]는 회전수를 사용하여 원의 자기 위상 동형 <math>f</math>들을 다음과 같이 분류하였다.
* 1. 만약 <math>f</math>의 회전수가 [[유리수]] <math>\omega(f)=p/q</math>라면 (<math>\gcd\{p,q\}=1</math>), <math>f</math>는 하나 이상의 주기적 궤도를 가지며, <math>f</math>의 모든 주기적 궤도의 주기는 <math>q</math>이다. 또한, <math>f</math>의 모든 궤도는 주기적 궤도로 수렴한다. (반면, <math>f</math>에서 수렴하는 주기적 궤도와 <math>f^{-1}</math>에서 수렴하는 주기적 궤도는 일반적으로 다를 수 있다.)
* 2. 만약 <math>f</math>의 회전수가 [[무리수]]라면, <math>f</math>는 주기적 궤도를 갖지 않는다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.
** 2(a). <math>f</math>는 적어도 하나의 [[조밀 집합|조밀]] 궤도를 갖는다. 이 경우, <math>f=g\circ(x\mapsto x+\omega(f))\circ g^{-1}</math>인 방향 보존 위상 동형 <math>g\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>이 존재하며, 모든 궤도가 조밀하다.
** 2(b). <math>f</math>의 모든 궤도는 [[조밀 집합|조밀]]하지 않다. 이 경우, <math>f(C)=C</math>인 [[칸토어 집합]] <math>C\subset\mathbb S^1</math>가 존재한다. 이 경우, <math>f</math>의 모든 궤도는 <math>C</math>에 수렴하며, 마찬가지로 <math>f^{-1}</math>의 모든 궤도 역시 <math>C</math>에 수렴한다. 이 경우, <math>h\circ f=(x\mapsto x+\omega(f))\circ h</math>가 되는 연속 함수 <math>h\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>가 존재하며, <math>h</math>는 <math>\mathbb S^1\setminus C</math>의 각 [[연결 성분]] 위에서 [[상수 함수]]이다.

또한, 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^2</math> 함수라면 항상 1이거나 2(a)에 해당한다. (이는 [[아르노 당주아]]가 증명하였다.)

== 같이 보기 ==
* [[푸앵카레-벤딕손 정리]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Rotation theory|저널=Scholarpedia|이름=Michał|성=Misiurewicz|doi=10.4249/scholarpedia.3873|날짜=2007|권=2|호=10|쪽=3873|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Michael R.|성=Herman|제목=Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations|저널=Publications mathématiques de l’IHÉS|권=49|날짜=1979|쪽=5–234|doi=10.1007/BF02684798|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1979__49__5_0|zbl=0448.58019 |mr=0538680|issn=0073-8301|언어=fr}}
* {{저널 인용|제목=Rotation numbers for diffeomorphisms and flows|이름=David|성=Ruelle|저자링크=다비드 뤼엘|저널=Annales de l’Institut Henri Poincaré A: physique théorique|url=http://www.numdam.org/item?id=AIHPA_1985__42_1_109_0|권=42|호=1|날짜=1985|쪽=109–115|issn=0020-2339|mr=794367 |zbl=0556.58026 |언어=en}}
* {{서적 인용|last=Wayne|first=C. Eugene|장=An introduction to KAM theory|제목=Dynamical systems and probabilistic methods in partial differential equations|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=LAM-31|date=1996|pages=29|장url=http://math.bu.edu/people/cew/preprints/introkam.pdf|총서=Lectures in Applied Mathematics|권=31|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-0368-4|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Differential equations on a torus}}
* {{매스월드|id=RotationNumber|title=Rotation number}}
* {{매스월드|id=MapWindingNumber|title=Map winding number}}

[[분류:동역학계]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:고정점]]