회전변환행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Matrix-font-linear-map001Rota.svg|섬네일|좌표평면상에서 회전변환행렬을 응용한 [[글꼴|폰트]] [[그래픽스|그래픽]]의 회전(90º및 180º)|300px]]
[[선형 변환]]에서 '''회전변환행렬'''(Rotation matrix)은 임의의 [[행렬]]을 [[원점]]을 중심으로 [[회전]]시킨다.
:<math>
\begin{pmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
</math>
회전변환행렬(Rotation matrix)은 [[선형 변환]]의 성질중 하나이며, 동시에 여러 회전변환행렬중 일부는 [[대칭변환행렬]] 즉 반사행렬(Reflection matrix)과 관련이 있다.

== 정의 ==
<table>
<tr>
<td>
[[파일:DistanceFromAtoB Matrix Rota.svg |300px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<!--  원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 다른 반지름을 대칭으로 예약하고, -->
원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 두 선분을 예약하고,<ref>[[유클리드 원론|유클리드 기하학 원론]] [http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 3권 법칙9] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey, [[퍼블릭 도메인]])</ref><ref>[[유클리드 원론|유클리드 기하학 원론]] [http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 3권 법칙3] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey,PublicDomain)</ref>
:<math>P = (x,y) \;\; , \;\;P' = (x',y') </math>
:<math>{\overline{OP}}= l= \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2}</math>  [[두 점 사이의 거리]],
:<math>{\overline{OP}}=  \sqrt{x^2 + y^2}</math>
:<math>cos \alpha ={ {x}\over {\overline{OP}} } </math>
:<math>{ {x} \over {\sqrt{x^2 + y^2}}}= {cos \alpha  } </math>

그리고,
:<math>sin \alpha ={ {y}\over {\overline{OP}} } </math>
:<math> {{y}\over {\sqrt{x^2 + y^2}}}= { sin \alpha  } </math>
그리고,
:<math>P' = (x',y') </math>는 <math>P = (x,y) </math>를 <math>+\theta </math>만큼 회전시킨 것이다.
:<math> x'= {{\sqrt{x^2 + y^2}}cos (\alpha + \theta) } </math>
:<math> y'= {{\sqrt{x^2 + y^2}} sin (\alpha +\theta) } </math>
[[삼각함수의 덧셈정리]]에서,
:<math> x'= {{\sqrt{x^2 + y^2}}cos (\alpha + \theta) } </math>는,
:<math> x'= {{\sqrt{x^2 + y^2}}(\cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta) } </math>
:<math> x'= \left( {{\sqrt{x^2 + y^2}}}{ {x} \over {\sqrt{x^2 + y^2}}} \cos \theta \right)- \left({{\sqrt{x^2 + y^2}}} { {y} \over {\sqrt{x^2 + y^2}}} \sin \theta  \right)</math>
:<math> x'= {x} \cos \theta - {y} \sin \theta </math>


:<math> y'= {{\sqrt{x^2 + y^2}} sin (\alpha +\theta) } </math>는,
:<math> y'= {{\sqrt{x^2 + y^2}} (\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta) } </math>
:<math> y'=  \left( {{\sqrt{x^2 + y^2}}}{ {y} \over {\sqrt{x^2 + y^2}}} \cos \theta \right) + \left({{\sqrt{x^2 + y^2}}} { {x} \over {\sqrt{x^2 + y^2}}} \sin \theta  \right) </math>
:<math> y'= {y} \cos \theta + {x} \sin \theta </math>
x,y 순서로 정리하면,
:<math> y'=  {x} \sin \theta +{y} \cos \theta </math>

연립방정식 형태로 나타내면,
:<math>  {x} \cos \theta - {y} \sin \theta =x'</math>
:<math>  {x} \sin \theta +{y} \cos \theta =y'</math>

따라서,
:<math>
   \begin{pmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}   \begin{pmatrix} x    \\ y  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x'    \\ y'  \end{pmatrix}
</math>

</td>
</tr>
</table>

== 컴퓨터그래픽 응용 ==
[[비트맵]] [[글꼴]]과 [[외곽선 글꼴]]에서 회전변환행렬은 유용한 정보처리를 표현한다.


== 예 ==
점(3,5)를 원점을 중심으로 90º회전시켰을때, [[삼각함수]]로부터 그 값을 예상해보면,
:<math>
 \begin{pmatrix}
 \cos 90^{\circ} &  -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 3    \\ 5
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} x'    \\ y'
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
 \begin{pmatrix}
 0 &  -1 \\ 1 & 0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 3    \\ 5
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix} (0\cdot 3)+(-1 \cdot 5)   \\ (1 \cdot 3)+(0 \cdot 5)
\end{pmatrix}
</math>
따라서,
<math>
\begin{pmatrix} (0)+(-5)   \\ (3)+(0)
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} -5  \\ 3
\end{pmatrix}
</math>

== 같이 보기 ==
* [[대칭변환행렬]]
* [[닮음변환행렬]]
* [[변환행렬]]

== 참고 ==
* {{서적 인용 |last = Nearing |first = James |year = 2010 |title = Mathematical Tools for Physics |url = http://www.physics.miami.edu/nearing/mathmethods |chapter = Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors |chapterurl = http://www.physics.miami.edu/~nearing/mathmethods/operators.pdf |accessdate = January 1, 2012 |isbn = 048648212X |archive-date = 2008-07-26 |archive-url = https://web.archive.org/web/20080726181249/http://www.physics.miami.edu/nearing/mathmethods/ |url-status =  }}
* [https://web.archive.org/web/20091027131421/http://geocities.com/evilsnack/matrix.htm The Matrix Page] Practical examples in [[POV-Ray]]
* [http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html Reference page] - Rotation of axes

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:행렬]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:변환 (함수)]]