환 달린 공간 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''환 달린 공간'''(環달린空間, {{llang|en|ringed space}})은 간단히 말하면 각 [[열린집합]]마다 [[가환환]]이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 [[해석학 (수학)|해석학]] 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, [[대수기하학]]에서 [[스킴 (수학)|스킴]]을 정의하기 위해서도 사용된다.

==정의==
'''환 달린 공간''' <math>(X,\mathcal O_X)</math>은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>와 그 위의 [[가환환]]의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O_X</math>의 [[순서쌍]]이다. <math>\mathcal O_X</math>를 <math>X</math>의 '''구조층'''(構造層, {{llang|en|structure sheaf}})라고 한다.

두 환 달린 공간 <math>(X,\mathcal O_X)</math>, <math>(Y,\mathcal O_Y)</math> 사이의 '''사상'''(寫像, {{llang|en|morphism of ringed spaces}}) <math>(f,f^\#)</math>은 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.
* <math>f\colon X\to Y</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X</math>는 [[가환환]]의 층의 사상이다. 구체적으로, <math>X</math>의 각 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>f^\#_U\colon O_Y(U)\to O_X(f^{-1}(U))</math>는 [[환 준동형]]이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

=== 국소환 달린 공간 ===
'''국소환 달린 공간'''(局所環달린空間, {{llang|en|locally ringed space}})은 구조층의 모든 [[줄기 (수학)|줄기]]가 [[국소환]]인 환 달린 공간이다. (각 [[열린집합]] <math>U</math>에 대해 <math>\mathcal O_X(U)</math>가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 '''사상'''(寫像, {{llang|en|morphism of locally ringed spaces}}) <math>(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)</math>은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f^\#</math>로 인하여 유도되는 [[줄기 (수학)|줄기]] 사이의 [[환 준동형]] <math>\mathcal  O_{Y,f(x)}\to\mathcal O_{X,x}</math> 아래, <math>\mathcal O_{X,x}</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]의 [[원상 (수학)|원상]]은 <math>\mathcal O_{Y,f(x)}</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]과 같다.

=== 열린 몰입 ===
환 달린 공간 사상 <math>(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)</math>이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 '''열린 몰입'''({{llang|en|open immersion}})이라고 한다.
* <math>f</math>의 [[치역]] <math>f(X)</math>은 [[열린집합]]이며, <math>f</math>는 치역으로의 [[위상 동형]]을 정의한다.
* <math>f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X</math>이 [[층 (수학)|층]]의 [[동형 사상]] <math>\mathcal O_Y|_{f(X)}\to f_*\mathcal O_X</math>을 유도한다.

환 달린 공간 <math>(X,\mathcal O_X)</math> 및 <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>가 주어졌을 때, <math>(U,\mathcal O_X|_U)</math>는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 <math>(U,\mathcal O_X|_U)\to(X,\mathcal O_X)</math>은 열린 몰입을 이룬다. 만약 <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 국소환 달린 공간이라면 <math>(U,\mathcal O_X|_U)</math> 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 [[치역]]에 따라 결정된다.

=== 닫힌 몰입 ===
{{본문|아이디얼 층}}
환 달린 공간 사상 <math>(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)</math>이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 '''닫힌 몰입'''({{llang|en|closed immersion}})이라고 한다.
* <math>f</math>의 [[치역]]은 [[닫힌집합]]이며, <math>f</math>는 치역으로의 [[위상 동형]]을 정의한다.
* <math>f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X</math>는 가환환 값의 [[층 (수학)|층]]의 [[전사 사상]]이다. 즉, 모든 줄기 사상 <math>\mathcal O_{Y,f(x)}\to\mathcal O_{X,x}</math>은 [[전사 함수]]이다.

환 달린 공간 <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[아이디얼 층]] <math>\mathcal I\subseteq\mathcal O_X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[지지 집합]] <math>\operatorname{supp}\mathcal I\subseteq X</math>은 [[닫힌집합]]이다. <math>\operatorname{supp}\mathcal I\subseteq X</math> 위의 몫층 <math>\mathcal O_X/\mathcal I</math>을 정의할 수 있으며, <math>(\operatorname{supp}\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I)\to(\mathcal X,\mathcal O_X)</math>는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 국소환 달린 공간이라면 <math>(\operatorname{supp}\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I)</math> 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 [[아이디얼 층]]에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 [[지지 집합]]인 [[닫힌집합]]에 의하여 결정되지 않는다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ [[스킴 (수학)|스킴]] ⊋ [[아핀 스킴]]

=== 범주론적 성질 ===
환 달린 공간의 범주 <math>\operatorname{RingSp}</math>와 국소환 달린 공간의 범주 <Math>\operatorname{LocRingSp}</math>는 둘 다 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다.<ref name="Gilliam">{{저널 인용|arxiv=1103.2139|제목=Localization of ringed spaces|이름=W. D.|성=Gilliam|bibcode=2011arXiv1103.2139G|날짜=2011|언어=en}}</ref>

<math>\operatorname{LocRingSp}</math>는 <math>\operatorname{RingSp}</math>의 [[충만한 부분 범주]]가 아니지만, [[쌍대 반사 부분 범주]]이다. 즉, 포함 함자
:<math>\operatorname{LocRingSp}\hookrightarrow\operatorname{RingSp}</math>
는 [[오른쪽 수반 함자]]를 가진다.<ref name="Gilliam"/>{{rp|Corollary 6}}

== 예 ==
모든 [[스킴 (수학)|스킴]]은 국소환 달린 공간이다.

[[국소 유클리드 공간]] <math>M</math> 위에 [[실수]] 값의 [[연속 함수]]의 층 <math>\mathcal C^0(M;\mathbb R)</math>을 부여한다면, <math>(M,\mathcal C^0(M;\mathbb R))</math>은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 실수 값의 [[매끄러운 함수]]의 층 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>을 부여한다면, <math>(M,\mathcal C^\infty(M;\mathbb R))</math>은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, [[복소다양체]] <math>M</math> 위에 [[복소수]] 값의 [[정칙 함수]]의 층 <math>\mathcal O_M</math>을 부여한다면, <math>(M,\mathcal O_M)</math>은 국소환 달린 공간을 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ringed space}}
* {{nlab|id=ringed space|title=Ringed space}}
* {{nlab|id=locally ringed topological space|title=Locally ringed topological space}}
* {{nlab|id=ringed site|title=Ringed site}}
* {{nlab|id=ringed topos|title=Ringed topos}}
* {{nlab|id=locally ringed topos|title=Locally ringed topos}}

{{전거 통제}}

[[분류:층론]]
[[분류:스킴 이론]]
[[분류:위상 공간]]