환산 질량 문서 원본 보기

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[[고전역학]]에서, 두 물체의 '''환산 질량'''({{lang|en|換算質量}}, {{lang|en|reduced mass}})은 두 물체의 질량의 [[조화 평균]]의 절반이다. [[이체 문제]]의 풀이에 등장한다.

== 정의 ==
서로 상호작용하는 두 점입자로 이루어진 [[계 (물리학)|계]]를 생각하자. 두 입자의 질량이 각각 <math>m_1</math>과 <math>m_2</math>라고 하면, 두 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.
:<math>m_1\ddot{\mathbf r}_1=\mathbf F_{12}</math>
:<math>m_2\ddot{\mathbf r}_2=\mathbf F_{21}=-\mathbf F_{12}</math>.
따라서, 두 입자 사이의 거리 <math>\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2</math>를 기술하는 미분 방정식은 다음과 같다.
:<math>\frac1{1/m_1+1/m_2}\ddot{\mathbf r}=\mathbf F_{12}</math>.
이는 질량이
:<math>\mu=\frac1{1/m_1+1/m_2}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math>
인 하나의 입자를 나타내는 운동 방정식으로 해석할 수 있다. 따라서, 원래의 [[이체 문제]]는 질량이 <math>\mu</math>인 하나의 입자를 다루는 일체 문제와 동등하다. 여기서 <math>\mu</math>를 원래 이체 문제의 '''환산 질량'''이라 한다.

==성질==
환산 질량 <math>\mu</math>는 항상 <math>\mu<m_1</math>과 <math>\mu<m_2</math>를 만족한다. 또한, 만약 <math>m_1<m_2</math>라면 항상 <math>m_1<2\mu<m_2</math>다. 이는 <math>2\mu</math>가 <math>m_1</math>과 <math>m_2</math>의 [[조화 평균]]이기 때문이다.

만약 한 물체가 다른 한 물체보다 매우 무겁다면, 두 물체의 환산 질량은 둘 가운데 더 가벼운 물체의 질량에 수렴한다. 즉, 만약 <math>m_1\gg m_2</math>라면 <math>\mu\lesssim m_2</math>이고, 반대로 <math>m_1\ll m_2</math>라면 <math>\mu\lesssim m_1</math>이다. 따라서, 예를 들어 지구와 태양을 고려할 경우 환산 질량은 지구의 질량에 매우 가깝고, [[수소]] 원자에서 환산 질량은 [[전자]]의 질량에 매우 가깝다.
== 같이 보기 ==
* [[조화 진동자]]

{{전거 통제}}
{{토막글|물리학}}

[[분류:역학]]