확장된 실수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''확장된 실수'''(擴張된實數, {{llang|en|extended real number}})는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

== 정의 ==
'''확장된 실수'''의 집합 <math>\bar{\mathbb R}</math>는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.
:<math>\bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{+\infty,-\infty\}</math>
이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.
:<math>\arctan\colon\bar{\mathbb R}\to[-\pi/2,\pi/2]</math>
:<math>\arctan(x)=\begin{cases}\pi/2&x=+\infty\\-\pi/2&x=-\infty\\\arctan(x)&x\in\mathbb R\end{cases}</math>
이에 따라, <math>\bar{\mathbb R}</math>에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한, <math>\bar{\mathbb R}</math>는 자연스럽게 [[전순서]]를 갖춘다. 여기서는 모든 <math>a\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>-\infty<a<\infty</math>
가 된다. 이에 따라서 <math>\bar{\mathbb R}</math>는 [[완비 격자]]를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 [[상한]]과 [[하한]]을 갖는다.

=== 산술 연산 ===
확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 <math>a^+\in\mathbb R^+</math>, <math>a^-\in\mathbb R^-</math>에 대하여,
:(덧셈) <math>a^+\pm\infty=a^-\pm\infty=0\pm\infty=\pm\infty\pm\infty=\pm\infty</math>
:(덧셈의 역원) <math>-(\pm\infty)=\mp\infty</math>
:(곱셈) <math>a^+\cdot(\pm\infty)=a^-\cdot(\mp\infty)
=\pm\infty\cdot\infty=\mp\infty\cdot(-\infty)=\pm\infty</math>
:(곱셈의 역원) <math>(\pm\infty)^{-1}=0</math>
그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다 (즉, 어떻게 정의하더라도 덧셈과 곱셈이 좋은 성질을 갖지 못한다).
:<math>0\cdot\infty=?</math>
:<math>\infty-\infty=?</math>
:<math>0^{-1}=?</math>
다만, [[측도론]]에서는 보통 <math>0\cdot\infty=0</math>으로 정의하여 사용한다.

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, <math>\bar{\mathbb R}</math>는 [[군 (수학)|군]]이나 [[환 (수학)|환]], 심지어 [[모노이드]]의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.
* <math>\bar{\mathbb R}\setminus\{0\}</math>는 곱셈 [[가환 모노이드]]를 이룬다.
** 만약 <math>0\cdot\infty=0</math>으로 정의한다면, <math>\bar{\mathbb R}</math>는 곱셈 [[가환 모노이드]]를 이룬다.
* <math>\bar{\mathbb R}\setminus\{-\infty\}</math>와 <math>\bar{\mathbb R}\setminus\{+\infty\}</math>는 각각 덧셈 [[가환 모노이드]]를 이룬다.
* 만약 <math>0\cdot\infty=0</math>으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 <math>\bar{\mathbb R}_{\ge0}=[0,\infty]</math>는 가환 [[반환 (수학)|반환]]을 이룬다.

=== 지수 함수 ===
다음과 같이 [[지수 함수]]를 정의할 수 있다.
:<math>\exp\colon\bar{\mathbb R}\to[0,\infty]</math>
:<math>\exp(-\infty)=0</math>
:<math>\exp(+\infty)=+\infty</math>
이는 [[전단사 함수]]이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
:<math>\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\qquad\left(a,b\in\bar{\mathbb R},;(a,b)\not\in\left\{(-\infty,+\infty),(+\infty,-\infty)\right\}\right)</math>
마찬가지로, 그 역함수인 [[로그 함수]]
:<math>\log\colon[0,\infty]\to\bar{\mathbb R}</math>
를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
:<math>\log(ab)=\log(a)+\log(b)\qquad\left(a,b\in[0,\infty],;(a,b)\not\in\left\{(0,\infty),(\infty,0)\right\}\right)</math>

=== 기타 함수 ===
만약 어떤 실함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가
:<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=a</math>
인 경우,
:<math>f(\infty)=a</math>
로 정의한다.

== 같이 보기 ==
* [[0으로 나누기]]
* [[이상 적분]]
* [[무한]]
* [[급수 (수학)]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|author= David W. Cantrell|title=Affinely Extended Real Numbers|id=AffinelyExtendedRealNumbers}}

{{전거 통제}}

[[분류:무한]]
[[분류:실수]]