확률 공간 문서 원본 보기

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{{확률론}}
[[확률론]]에서 '''확률 공간'''(確率空間, {{llang|en|probability space}})은 전체 측도가 1인 [[측도 공간]]이다. 확률적인 현상에서, 확률공간의 [[측도]]는 [[확률]]을 정의한다.

== 정의 ==
'''확률 공간''' <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math>은 공간 전체의 측도가 1인 [[측도 공간]]이다.
:<math>\Pr(\Omega)=1</math>
[[확률론]]에서는 [[측도론]]의 용어와 다른 각종 용어들이 사용된다.
* 확률공간의 점들의 집합 <math>\Omega</math>는 '''[[표본 공간]]'''이라고 한다.
* 확률공간의 [[가측 집합]] <math>S\in\mathcal F</math>은 '''사건'''({{llang|en|event}})이라고 한다.
* 사건 <math>S\in\mathcal F</math>의 [[측도]] <math>\Pr(S)</math>는 사건의 '''[[확률]]'''({{llang|en|probability}})이라고 한다.
확률론의 용어를 사용한다면, [[측도 공간]]의 각종 성질은 다음과 같다.
* 사건 <math>S\subset\Omega</math>에 대하여, 그 [[여집합]] <math>\Omega\setminus S</math> 역시 사건이다. 즉, 어떤 사건에 대하여, 그 사건이 일어나지 않는 경우 역시 사건이다.
* 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 즉, 사건들의 열이 주어졌을 때, 사건의 열 가운데 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건을 이루며, 사건의 열이 모두 일어나는 경우 (교집합) 역시 사건을 이룬다.
* [[공집합]]과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.

== 예 ==
확률 공간의 기초적인 예로는 다음이 있다.

=== 유한 확률 공간 ===
[[유한 집합]] <math>\Omega</math> 및 음이 아닌 실수 값의 함수 <math>p\colon\Omega\to[0,1]</math>을 부여하고, 또한
:<math>\sum_{x\in\Omega}p(x)=1</math>
이라고 하면, 다음과 같은 확률 공간 <math>(\Omega,\mathcal P(\Omega),\Pr)</math>을 정의할 수 있다.
* 표본 공간은 유한 집합 <math>\Omega</math>이다.
* 사건 시그마 대수는 이산 시그마 대수 <math>\mathcal P(\Omega)</math>이다. 즉, 표본 공간의 모든 [[부분 집합]]이 사건을 이룬다.
* 사건 <math>S\subset\Omega</math>의 확률은 다음과 같다.
::<math>\Pr(S)=\sum_{x\in S}p(x)</math>

=== 유클리드 공간의 부분 공간 ===
[[측도 공간]] <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>에서, 측도가 양의 실수인 [[가측 집합]]
:<math>\Omega\in\mathcal F</math>
:<math>0<\mu(\Omega)<\infty</math>
이 주어졌다면, 다음과 같은 확률공간 <math>(\Omega,\mathcal F|_\Omega,\Pr)</math>을 정의할 수 있다.
* 표본 공간은 <math>\Omega</math>이다.
* 사건 시그마 대수는 <math>\mathcal F|_\Omega=\{S\cap\Omega|S\in\mathcal F\}</math>이다.
* 사건 <math>S\in\mathcal F|_\Omega</math>의 확률은 다음과 같다.
::<math>\Pr(S)=\mu(S)/\mu(\Omega)</math>
예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분 집합을 확률 공간으로 삼을 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[확률 변수]]

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The development of rigor in mathematical probability (1900–1950)|이름=Joseph L.|성=Doob|저자링크=조지프 두브|저널=The American Mathematical Monthly|doi=10.2307/2974673|jstor=2974673|권=103|호=7|issn=0002-9890|날짜=1996-08|zbl=0865.01011|mr=1404084|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Probability space}}
* {{매스월드|id=ProbabilitySpace|title=Probability space}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:공간 (수학)]]