화살집 표현 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''화살집 표현'''(-表現, {{llang|en|quiver representation}})은 [[환론]]에서 [[화살집 (수학)|화살집]]의 각 꼭짓점에 [[가군]]을 대응시키며 각 변에 [[가군 준동형]]을 대응시키는 수학 구조이다.<ref>{{저널 인용 | url = http://www.ams.org/notices/200502/fea-weyman.pdf | title = Quiver representations | first1 = Harm | last1 = Derksen | first2 = Jerzy | last2 = Weyman | journal = Notices of the American Mathematical Society | volume = 52 | issue = 2 |날짜=2005-02 | 쪽=200–206| zbl= 1143.16300 | issn=0002-9920 | 언어=en }}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* [[화살집 (수학)|화살집]] <math>Q</math>

=== 추상적 정의 ===
<math>Q</math>의 <math>K</math> 계수 '''화살집 표현''' <math>R</math>는 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]이다.
:<math>R\colon \operatorname{Free}(Q)\to \operatorname{Mod}_K</math>
여기서 <math>\operatorname{Free}(Q)</math>는 <math>Q</math>로 생성되는 자유 범주이며, <math>\operatorname{Mod}_K</math>는 <math>K</math>-[[가군]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.

두 화살집 표현 <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 '''사상''' <math>\phi \colon R\to S</math>은 함자 사이의 [[자연 변환]]이다.

=== 구체적 정의 ===
<math>Q</math>의 <math>K</math> 계수 '''화살집 표현''' <math>R</math>은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 꼭짓점 <math>v\in\operatorname V(Q)</math>에 대하여, <math>K</math>-가군 <math>R_v</math>
* 각 변 <math>e\colon u\to v</math>에 대하여, <math>K</math>-[[가군 준동형]] <math>R_e\colon R_u\to R_v</math>

두 화살집 표현 <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 '''사상''' <math>\phi \colon R\to S</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 꼭짓점 <math>v\in \operatorname V(Q)</math>에 대하여, <math>K</math>-[[가군 준동형]] <math>\phi_v\colon R_v\to S_v</math>
이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 <math>e\colon u\to v</math>에 대하여,
:<math>\begin{matrix}
R_u & \overset{\phi_u}\to & S_u \\
{\scriptstyle R_e}\downarrow{\color{White}\scriptstyle R_e} && {\color{White}\scriptstyle S_e}\downarrow\scriptstyle S_e \\
R_v & \underset{\phi_v}\to & S_v
\end{matrix}</math>

=== 환론적 정의 ===
화살집 <math>Q</math> 속의, 길이 <math>n\in\mathbb N</math>의 '''보행'''({{llang|en|walk, path}})은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 [[수열|열]]
:<math>v_n, e_{n-1},\dotsc,e_1,v_1, e_0, v_0</math>
이다.
:<math>s(e_i)= v_i \forall i\in\{0,\dotsc,n-1\}</math>
:<math>t(e_i)= v_{i+1} \forall i\in\{0,\dotsc,n-1\}</math>
(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 [[일대일 대응]]한다.)

<math>Q</math>의 보행들을 [[기저 (선형대수학)|기저]]로 갖는 <math>K</math>-[[자유 가군]] 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.
* 임의의 두 보행 <math>\alpha=(v_n,e_{n-1},\dotsc,e_0,v_0)</math>, <math>\beta=(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc,e'_0,v'_0)</math>에 대하여,
** 만약 <math>v_0=v'_{n'}</math>이라면, <math>\alpha\beta = (v_n,e_{n-1},\dotsc,e_0,v_0,e'_{n'-1},\dotsc,v'_0)</math>
** 만약 <math>v_0\ne v'_{n'}</math>이라면, <math>\alpha\beta=0</math>
이는 [[유사환]]을 이루며, 만약 <math>Q</math>가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원
:<math>1=\sum_{v\in\operatorname V(Q)}(v)</math>
을 가져 [[환 (수학)|환]]을 이룬다. 이를 <math>Q</math> 위의 '''보행 대수'''({{llang|en|walk algebra, path algebra}}) <math>K[Q]</math>라고 한다.

이제, 만약 <math>Q</math>의 꼭짓점 집합이 [[유한 집합]]일 경우, <math>Q</math>의 '''<math>K</math>-표현'''은 보행 대수 <math>K[Q]</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>R</math>이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

{| class=wikitable
! 범주론적 정의 !! 구체적 정의 !! 환론적 정의
|-
| 꼭짓점 <math>v</math>에 대응하는 대상의 [[상 (수학)|상]] <math>R(v)</math>
| 꼭짓점 <math>v</math>에 대응되는 가군 <Math>R_v</math>
| <math>(v)R</math> (<math>(v)</math>는 길이 0의 보행)
|-
| 변 <math>e</math>에 대응하는 사상의 [[상 (수학)|상]] <math>R(e)</math>
| 변 <math>e\colon u\to v</math>에 대응하는 [[가군 준동형]] <math>R_e\colon R_u\to R_v</math>
| 길이 1의 보행 <math>(u,e,v)</math>의 작용 <math>(u,e,v)\colon (v)R\to (u)R</math>
|-
| 보행 <math>(v_n,\dotsc,e_0,v_0)</math>에 대응하는 사상의 상 <math>R(e_{n-1})\circ\dotsb\circ R(e_0)</math>
| 보행의 변들에 대응하는 [[가군 준동형]]들의 합성 <math>R_{e_{n-1}}\circ\dotsb\circ R_{e_0}\colon R_{v_0}\to R_{v_n}</math>
| 보행의 작용
|}

== 연산 ==
=== 분리합 ===
화살집들의 집합 <math>(Q_i)_{i\in I}</math> 및 각 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>Q_i</math>의 표현 <math>R^{(i)}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[분리합집합]] <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}Q_i</math>의 <math>K</math>-표현 <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}R^{(i)}</math>이 자연스럽게 존재한다.

반대로, <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}Q_i</math>의 모든 <Math>K</math>-표현은 <math>Q_i</math>들의 표현들의 족 <math>(R^{(i)})_{i\in I}</math>의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 [[분리합집합]]이 대응되는 범주의 [[쌍대곱]]에 대응하기 때문이다.)

=== 직합 ===
화살집 <math>Q</math>의 <math>K</math>-표현들의 집합 <math>(R^{(i)})_{i\in I}</math>의 '''[[직합]]'''은 다음과 같은 화살집 표현이다.
:<math>R_v = \bigoplus_{i\in i}R^{(i)}_v\qquad(v\in\operatorname V(Q))</math>
:<math>R_e = \bigoplus_{i\in i}R^{(i)}_e\qquad(e\in\operatorname E(Q))</math>

직합의 항등원은 모든 성분이 [[영가군]]인 '''영 표현'''(零表現, {{llang|en|zero representation}})이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 '''분해 불가능 표현'''(分解不可能表現, {{llang|en|indecomposable representation}})이라고 한다.

== 성질 ==
임의의 가환환 <Math>K</math> 및 화살집 <math>Q</math>에 대하여, <math>Q</math>의 <math>K</math>-표현들의 [[범주 (수학)|범주]]는 ([[작은 범주]]에서 [[아벨 범주]]로 가는 [[함자 (수학)|함자]] 범주이므로) [[아벨 범주]]이다.

=== 가브리엘 정리 ===
[[파일:Simply Laced Dynkin Diagrams.svg|섬네일|오른쪽|<math>\mathsf A_n</math> · <math>\mathsf D_n</math> · <math>\mathsf E_n</math> 꼴의 [[근계]]의 [[딘킨 도표]]]]
'''가브리엘 정리'''(Gabriel定理, {{llang|en|Gabriel’s theorem}})에 따르면, 화살집 <math>Q</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 분해 불가능 [[복소수]] 표현의 [[동형류]]의 수가 유한하다.
* 유한 개의 [[연결 성분]]을 가지며, 각 [[연결 성분]]은 (변의 방향을 망각하면) <math>\mathsf A_n</math> · <math>\mathsf D_n</math> · <math>\mathsf E_6</math> · <math>\mathsf E_7</math> · <math>\mathsf E_8</math> 꼴의 [[딘킨 도표]]를 이룬다. (특히, [[다중 그래프]]일 수 없다.)
또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 <math>K</math>-표현의 [[동형류]]는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) [[근계]]의 [[양근 (수학)|양근]]과 [[일대일 대응]]한다.

== 예 ==
임의의 [[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자.

[[공집합]](즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 [[화살집 (수학)|화살집]])은 유일한 (자명한) <math>K</math>-표현을 갖는다.

=== A₁ ===
하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 <math>\mathsf A_1</math>의 표현들은 <math>K</math>-[[가군]]이다. 특히, 만약 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, <math>\mathsf A_1</math>의 분해 불가능 <math>K</math>-표현은 1차원 표현 <math>K</math> 밖에 없다. (이는 <math>\mathsf A_1</math> [[근계]]의 유일한 [[양근 (수학)|양근]]에 대응한다.)

=== A₂ ===
[[파일:Root system A2.svg|섬네일|오른쪽|<math>\mathsf A_2</math> [[근계]]는 세 개의 양근 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\alpha+\beta</math>를 갖는다.]]
두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 <math>\mathsf A_2</math>의 표현들은 두 <math>K</math>-[[가군]] 사이의 [[가군 준동형]]이다. 특히, 만약 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때,
:<math>\mathsf A_2=\underset u\bullet\overset e-\underset v\bullet</math>
의 분해 불가능 <math>K</math>-표현은 다음 세 개이다. (이는 <math>\mathsf A_2</math> [[근계]]의 세 [[양근 (수학)|양근]]에 대응한다.)
* <math>R_u = K</math>, <math>R_v = 0</math>, <math>R_e</math>는 값이 0인 [[상수 함수]]
* <math>R_u = 0</math>, <math>R_v = K</math>, <math>R_e</math>는 값이 0인 [[상수 함수]]
* <math>R_u = R_v = K</math>, <math>R_e</math>는 [[항등 함수]]

== 역사 ==
가브리엘 정리는 피에르 가브리엘({{llang|fr|Pierre Gabriel}}, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.<ref name="Gabriel">{{저널 인용|성=Gabriel|이름=Peter|제목=Unzerlegbare Darstellungen Ⅰ|저널=Manuscripta Mathematica|권=6 |날짜=1972|쪽=71–103|doi=10.1007/BF01298413 | issn=0025-2611 |url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002216485 | 언어=de}}</ref>{{rp|73, §1.2, Satz}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quiver}}
* {{nlab|id=Gabriel's theorem}}
* {{웹 인용|url= https://math.stackexchange.com/questions/373578/why-are-representations-of-quivers-such-a-big-deal | 제목=Why are (representations of) quivers such a big deal? | 웹사이트=Stack Exchange | 언어=en}}

[[분류:표현론]]
[[분류:표현론 정리]]