홈플리 다항식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[매듭 이론]]에서 '''홈플리 다항식'''(HOMFLY多項式, {{llang|en|HOMFLY polynomial}})은 [[유향 다양체|유향]] [[연환]]에 대하여 정의되는 2변수 [[다항식]] 불변량이다.<ref>{{서적 인용| 성=Kauffman | 이름= Louis Hirsch |제목= Knots and physics |출판사= World Scientific |날짜= 2001-07 | doi=10.1142/4256 | 판=3 | 총서=Series on Knots and Everything | 권=1 |ooi=978-981-02-4111-7 |언어=en}}
</ref>

== 정의 ==
홈플리 다항식은 모든 [[유향 다양체|유향]] [[연환]]
:<math>K\colon(\mathbb S^1)^{\sqcup n}\hookrightarrow\mathbb S^3</math>
에 대하여 정의되는, 두 변수 <math>\alpha</math>, <math>z</math>에 대한 정수 계수 다항식
:<math>P_K(\alpha,z)\in\mathbb Z[\alpha,\alpha^{-1},z,z^{-1}]</math>
이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.
* (임의의 방향이 주어진) [[자명한 매듭]] <math>\bigcirc</math>에 대하여, <math>P_\bigcirc(\alpha,z) = 1</math>
* ('''타래 관계''' {{llang|en|skein relation}}) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 <math>L_+</math>, <math>L_-</math>, <math>L_0</math>를 정의하였다고 하자.
*:[[파일:Skein (HOMFLY).svg]]
:그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.
::<math>\alpha P_{L_+}(\alpha,z)-\alpha^{-1}P_{L_-}(\alpha,z) = zP_{L_0}(\alpha,z)</math>

=== 존스 다항식과 알렉산더 다항식 ===
홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.
* '''존스 다항식'''({{llang|en|Jones polynomial}}): <math>V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})</math>
* '''알렉산더 다항식'''({{llang|en|Alexander polynomial}}): <math>\Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})</math>

== 성질 ==
홈플리 다항식 <math>P_L(\alpha,z)\in\mathbb Z[\alpha,\alpha^{-1},z,z^{-1}]</math>은 정수 계수 [[로랑 다항식]]이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식
:<math>V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb Z[q^{1/2}, q^{-1/2}]</math>
:<math>\Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb Z[q^{1/2}, q^{-1/2}]</math>
은 <math>q^{1/2}</math>에 대한 정수 계수 [[로랑 다항식]]이다.

=== 연산과의 호환성 ===
홈플리 다항식은 매듭의 [[연결합]]에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 <math>K</math>, <math>K'</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>P_{K\# K'}(\alpha,z) = P_K(\alpha, z)P_{K'}(\alpha,z)</math>

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 [[연환]] <math>L=L_1\sqcup L_2</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>P_{L_1\sqcup L_2}(\alpha,z) = \frac{\alpha - \alpha^{-1}}z P_{L_1}(\alpha,z) P_{L_2}(\alpha,z)</math>

유향 연환 <math>L\colon (\mathbb S^1)^{\sqcup n}\hookrightarrow\mathbb S^3</math>의 거울 대칭을
:<math>\bar L = \iota \circ L </math>
:<math>\iota\colon \mathbb S^3\to\mathbb S^3</math>
이라고 할 때, 다음이 성립한다.
:<math>P_{\bar L}(\alpha,z) = P_L(-\alpha^{-1},z)</math>
즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 [[연환]]에서, 모든 [[연결 성분]]의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

=== 천-사이먼스 이론과의 관계 ===
{{본문|천-사이먼스 이론}}
홈플리 다항식은 [[천-사이먼스 이론]]의 [[윌슨 고리]]의 기댓값으로 주어진다.<ref name="Witten"/>

구체적으로, 3차원 [[초구]] 위의, 준위 <math>k\in\mathbb N</math>의 <math>\operatorname{SU}(N)</math> [[천-사이먼스 이론]]을 생각하자. 이제, [[초구]] 속의 유향 [[연환]] <math>L</math>에 대한, <math>N</math>차원 정의 표현({{llang|en|defining representation}})에서 취한 [[윌슨 고리]] 연산자의  (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.<ref name="Witten">{{저널 인용|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|제목=Quantum field theory and the Jones polynomial|권=121|호=3|저널=Communications in Mathematical Physics|날짜=1989|쪽=351–399|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|mr=0990772|zbl=
0667.57005|doi=10.1007/BF01217730|issn=0010-3616|언어=en}}</ref>{{rp|382, (4.22–4.23)}}
:<math>\left\langle \operatorname{tr}\oint_LA\right\rangle=
\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{z}P_L(\alpha,z)
</math>
:<math>q=\exp\frac{2\pi\mathrm i}{N+k}</math>
:<math>z=q^{1/2}-q^{-1/2}</math>
:<math>\alpha = q^{N/2}</math>

== 예 ==
간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

{| class=wikitable
! 매듭 || 홈플리 다항식
|-
| [[공집합]] (0개 [[연결 성분]]의 [[연환]]) || <math>z/(\alpha - \alpha^{-1})</math>
|-
| [[자명한 매듭]] 0<sub>1</sub> || 1
|-
| <math>n</math>개 [[연결 성분]]의 자명한 연환 || <math>(\alpha - \alpha^{-1})^{n-1}/z^{n-1}</math>
|-
| [[세잎매듭]] 3<sub>1</sub> (왼손) || <math>2\alpha^2 - \alpha^4 + \alpha z^2</math>
|-
| [[세잎매듭]] 3<sub>1</sub> (오른손) || <math>2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2</math>
|-
| 8자 모양 매듭 4<sub>1</sub> || <math>-1 + \alpha^2 + \alpha^{-2} - z^2</math>
|-
| [[호프 연환]] <math>2^1_1</math> (연환수 +1) || <math>-\alpha^{-3} z^{-1} + \alpha^{-1} z + \alpha^{-1} z^{-1}</math>
|-
| [[호프 연환]] <math>2^1_1</math> (연환수 &minus;1) || <math>\alpha^3 z^{-1} -\alpha z- \alpha z^{-1}</math>
|}

=== 타래 관계의 예 ===
==== 자명한 연환 ====
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
:{| style="text-align: center"
| [[파일:Skein-relation-link20-plus-sm.png]]
| [[파일:Skein-relation-link20-minus-sm.png]]
| [[파일:Skein-relation-link20-zero-sm.png]]
|-
| <math>L_+</math> || <math>L_-</math> || <math>L_0</math>
|-
| [[자명한 매듭]] <math>0_1</math> || [[자명한 매듭]] <math>0_1</math> || 자명한 연환 <math>0_1\sqcup 0_1</math>
|}
그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.
:<math>\alpha - \alpha^{-1} = zP_{0_1\sqcup 0_1}(\alpha,z)</math>
즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{0_1\sqcup 0_1}(\alpha,z) = \frac{\alpha-\alpha^{-1}}z</math>

==== 호프 연환 ====
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
:{| style="text-align: center"
| [[파일:Skein-relation-link22-plus-sm.png]]
| [[파일:Skein-relation-link22-minus-sm.png]]
| [[파일:Skein-relation-link22-zero-sm.png]]
|-
| <math>L_+</math> || <math>L_-</math> || <math>L_0</math>
|-
| [[호프 연환]] <math>2^1_1</math> (연환수 +1) || 자명한 연환 <math>0_1\sqcup0_1</math> || [[자명한 매듭]] <math>0_1</math>
|}
그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.
:<math>\alpha P_{2^1_1}(\alpha,z) - \alpha^{-1} \left(\frac{\alpha-\alpha^{-1}}z\right) = z</math>
즉, [[호프 연환]]의 홈플리 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{2^1_1}(\alpha,z) = 
\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1}-\alpha^{-3}z^{-1}
</math>
만약 [[호프 연환]]의 두 성분 가운데 하나의 [[방향 (다양체)|방향]]을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 <math>\alpha\mapsto-\alpha^{-1}</math>가 되며,
:<math>P_{2^1_1}(\alpha,z) = 
-\alpha z - \alpha z^{-1} +\alpha^3z^{-1}
</math>
를 얻는다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
! 유향 연환
|[[파일:Linking Number 1.svg|100px]] || [[파일:Linking Number -1.svg|100px]]
|-
! [[연환수]]
| +1 || &minus;1
|-
! 홈플리 다항식
| <math>
\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1}-\alpha^{-3}z^{-1}</math>
| <math>-\alpha z - \alpha z^{-1} +\alpha^3z^{-1}</math>
|}

==== 세잎매듭 ====
다음과 같은 타래 관계를 생각하자.
:{| style="text-align: center"
| [[파일:Skein-relation-trefoil-plus-sm.png]]
| [[파일:Skein-relation-trefoil-minus-sm.png]]
| [[파일:Skein-relation-trefoil-zero-sm.png]]
|-
| <math>L_+</math> || <math>L_-</math> || <math>L_0</math>
|-
| [[세잎매듭]] <math>3_1</math> || [[자명한 매듭]] <math>0_1</math> || [[호프 연환]] <math>2^1_1</math> (연환수 +1)
|}
이에 따라 타래 관계는
:<Math>\alpha P_{3_1}(\alpha,z) - \alpha^{-1} = z \left(
\alpha^{-1}z + \alpha^{-1}z^{-1} - \alpha^{-3}z^{-1}
\right)</math>
이다. 즉,
:<math>P_{3_1}(\alpha,z)
= 
2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2
</math>
이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면
:<math>P_{3_1}(\alpha,z) = 
2\alpha^2 - \alpha^4 + \alpha^2 z^2</math>
이다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
! 매듭
|[[파일:Trefoil knot left.svg|100px]] || [[파일:TrefoilKnot 01.svg|100px]]
|-
! 이름
| 왼손 세잎매듭 || 오른손 세잎매듭
|-
! 홈플리 다항식
| <math>2\alpha^2 - \alpha^4 + \alpha^2 z^2</math>
| <math>2\alpha^{-2} - \alpha^{-4} + \alpha^{-2}z^2</math>
|}

=== 홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭 ===
매듭 9<sub>42</sub>은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다).<ref name="RGK">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9401095|제목=Chirality of knots 9<sub>42</sub> and 10<sub>71</sub> and Chern–Simons theory|doi=10.1142/S0217732394003026|저널=Modern Physics Letters A|권=9|날짜=1994|쪽=3025–3218|이름=P.|성=Ramadevi|이름2=T. R.|성2=Govindarajan|이름3=R. K.|성3=Kaul|언어=en}}</ref> 매듭 10<sub>71</sub>의 경우도 마찬가지다.<ref name="RGK"/>

== 역사 ==
[[제임스 워델 알렉산더]]가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 [[존 호턴 콘웨이]]가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다.
이후 1984년에 [[본 존스]]가 존스 다항식을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|last=Jones |first=Vaughan Frederick Randal |저자링크=본 존스 | title=A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra | year=1985 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=12 | pages=103–111 | doi=10.1090/s0273-0979-1985-15304-2|언어=en}}</ref>

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드({{llang|en|Peter John Freyd}}, 1936~) · 데이비드 예터({{llang|en|David N. Yetter}}) ·
짐 호스트({{llang|en|Jim Hoste}}) · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시({{llang|en|William Bernard Raymond Lickorish}}, 1938~) · 케네스 밀렛({{llang|en|Kenneth Millett}}, 1941~) · 아드리안 오크네아누({{llang|ro|Adrian Ocneanu}})가 공동으로 발견하였다.<ref>{{저널 인용|성1= Freyd|이름1= Peter John|성2= Yetter |이름2= David N.|성3= Hoste |이름3= Jim|성4= Lickorish|이름4= William Bernard Raymond|성5= Millett|이름5= Kenneth|성6= Ocneanu|이름6= Arian|title = A new polynomial invariant of knots and links|journal = Bulletin of the American Mathematical Society|권 = 12|호 = 2|날짜 = 1985|pages = 239–246|doi = 10.1090/S0273-0979-1985-15361-3|mr=776477|zbl=
0572.57002|언어=en}}</ref> “홈플리”({{llang|en|HOMFLY}})라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키({{llang|pl|Józef Henryk Przytycki}}, 1953~)와 파베우 트라치크({{llang|pl|Paweł Traczyk}})가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Józef Henryk |성=Przytycki|이름2=Paweł|성2=Traczyk|제목=Invariants of links of Conway type|저널=Kobe Journal of Mathematics |권=4 |호=2 |날짜=1987|쪽=115–139|mr=945888|언어=en}}</ref> 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”({{llang|en|HOMFLY–PT polynomial}}) 또는 “플립모스 다항식”({{llang|en|FLYPMOTH polynomial}}) 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 [[에드워드 위튼]]이 홈플리 다항식과 [[천-사이먼스 이론]] 사이의 관계를 발견하였다.<ref name="Witten"/>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Jones-Conway polynomial}}
* {{eom|title=Alexander-Conway polynomial}}
* {{eom|title=Conway skein triple}}
* {{매스월드|id=HOMFLYPolynomial|title=HOMFLY polynomial}}
* {{매스월드|id=JonesPolynomial|title=Jones polynomial}}
* {{매스월드|id=AlexanderPolynomial|title=Alexander polynomial}}
* {{매스월드|id=ConwayPolynomial|title=Conway polynomial}}
* {{nlab|id=HOMFLY-PT polynomial}}
* {{nlab|id=Jones polynomial}}
* {{nlab|id=Alexander polynomial}}
* {{웹 인용 | url=http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_HOMFLY-PT_Polynomial | 제목=The HOMFLY-PT polynomial | 웹사이트=The Knot Atlas | 언어=en | 확인날짜=2017-09-10 | archive-date=2017-09-05 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170905070036/http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_HOMFLY-PT_Polynomial | url-status= }}
* {{웹 인용|url=https://mathlyblog.wordpress.com/2016/01/21/존스-다항식jones-polynomial/ | 제목=존스 다항식(Jones polynomial) | 웹사이트=The Mathlyblog | 날짜=2016-01-21 | 언어=ko}}

[[분류:매듭 불변량]]