호프 올뭉치 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Hopf Fibration.png|right|250px|섬네일|호프 올뭉치의 형상화. 왼쪽 위에는 3차원 구 <math>\mathbb S^3</math>(를 3차원 공간 <math>\mathbb R^3</math>에 사영한 모습), 오른쪽 아래에는 2차원 구 <math>\mathbb S^2</math>이다. 다발 구조를 보이기 위하여 2차원 구의 부분집합과 그 각 점에 대응하는 올을 같은 색깔로 표시하였다.]]
[[위상수학]]에서 '''호프 올뭉치'''({{llang|en|Hopf fibration}})는 [[구 (기하학)|구]]가 다른 차원의 구 위의 [[올다발]]을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

== 정의 ==
[[노름]]을 가진 [[나눗셈 대수]] <math>X</math>와 그 차원 <math>n := \dim X</math>가 주어졌다고 하자. 다시 말해, <math>X</math>는 [[실수]] · [[복소수]] · [[사원수]] · [[팔원수]] 대수 가운데 하나이고 각각의 경우 <math>n=1,2,4,8</math>이다. 그러면 다음과 같이 <math>X</math>의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구 <math>\mathbb S^{2n-1}</math>를 만들고 [[동치관계]] <math>\sim</math>을 정의할 수 있다.
:<math>\mathbb S^{2n-1}=\{(x_1,x_2)|1=|x_1|^2+|x_2|^2;x_1,x_2\in X\}\subset X^2</math>
:<math>(x_1,x_2)\sim(\lambda x_1,\lambda x_2)</math> (<math>\lambda\in X</math>, <math>|\lambda|=1</math>)
이 때,
:<math>\mathbb S^n\cong\mathbb S^{2n-1}/{\sim}</math>
을 얻는다. 즉, <math>\mathbb S^{2n-1}</math>은 <math>\mathbb S^n</math> 위에 [[올다발]]을 이루며, 그 올은 <math>\mathbb S^{n-1}</math>인 것을 알 수 있다. 이를 '''호프 올뭉치'''라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.
:<math>\mathbb S^0\hookrightarrow\mathbb S^1\twoheadrightarrow\mathbb S^1</math> ([[실수]])
:<math>\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2</math> ([[복소수]])
:<math>\mathbb S^3\hookrightarrow\mathbb S^7\twoheadrightarrow\mathbb S^4</math> ([[사원수]])
:<math>\mathbb S^7\hookrightarrow\mathbb S^{15}\twoheadrightarrow\mathbb S^8</math> ([[팔원수]])

=== 일반화 ===
보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수 <math>\mathbb K</math> (<math>\dim K = k</math>)에 대하여, <math>\mathbb K</math>-[[사영 공간]]에 대한 [[주다발]]
:<math>\mathbb S^{k-1} \hookrightarrow \mathbb S^{k(n+1)-1} \twoheadrightarrow \mathbb{KP}^n</math>
을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.
* [[실수]]: <math>\mathbb S^0 \hookrightarrow \mathbb S^n \twoheadrightarrow \mathbb{RP}^n</math>. 이는 2차 [[순환군]] <math>\mathbb S^0=\operatorname{Cyc}(2)</math>에 대한 [[주다발]]이다.
* [[복소수]]: <math>\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{CP}^n</math>. 이는 [[원군]] <math>\mathbb S^1=\operatorname U(1)</math>에 대한 [[주다발]]이다.
* [[사원수]]: <math>\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb S^{2n+3} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n</math>. 이는 <math>\mathbb S^3=</math>[[SU(2)]]에 대한 [[주다발]]이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 <math>\mathbb K \subsetneq \mathbb L</math>에 대하여, <math>\dim\mathbb L/\dim\mathbb K=p</math>, <math>\dim\mathbb L=l</math>일 때, 올다발
:<math>\mathbb{KP}^{p-1} \hookrightarrow \mathbb{KP}^{p(n+1)-1} \twoheadrightarrow \mathbb{LP}^n</math>
을 정의할 수 있다.
* [[실수]] ⊂ [[복소수]]: <math>\mathbb S^1=\mathbb{RP}^1\hookrightarrow\mathbb{RP}^{2n+1}\twoheadrightarrow\mathbb{CP}^n</math>. 이는 [[원군]]에 대한 [[주다발]]이다.
* [[복소수]] ⊂ [[사원수]]: <math>\mathbb S^2=\mathbb{CP}^1\hookrightarrow\mathbb{CP}^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n</math>. <math>\mathbb S^2</math>에는 [[리 군]] 구조가 존재하지 않으므로, 이는 [[주다발]]이 아닌 [[올다발]]이다.
** 특히, <math>\mathbb S^2 \hookrightarrow \mathbb{CP}^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^4=\mathbb{HP}^1</math>는 콤팩트화 4차원 시공간과 [[트위스터 공간]] 사이의 관계이다.
* [[실수]] ⊂ [[사원수]]: <math>\mathbb{RP}^3\hookrightarrow\mathbb{RP}^{4n+3} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n</math>. 이는 <math>\operatorname{RP}^3 = \operatorname{SO}(3)</math>에 대한 [[주다발]]이다.
반면, 이는 [[팔원수]]의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.<ref>{{저널 인용|제목=On quotients of Hopf fibrations|url=http://hdl.handle.net/10077/4637|성=Loo|이름=B.|성2=
Verjovsky|이름2=A.|저널=Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste|권=26|날짜=1994|쪽=103–108|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
1931년 [[하인츠 호프]]가 <math>\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2</math>을 발견하였다.<ref>{{저널 인용
  | last=Hopf
  | first=Heinz
  | 저자링크=하인츠 호프
  | title=Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche
  | journal=Mathematische Annalen
  | volume=104
  | issue=1
  | pages=637–665
  | year=1931
  | url=http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=363429&L=2
  | doi=10.1007/BF01457962
  | 언어=de
  | zbl=0001.40703|jfm=57.0725.01
 }}</ref>
그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다.<ref>{{저널 인용
  | last=Hopf
  | first=Heinz
  | 저자링크=하인츠 호프
  | title=Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension
  | journal=Fundamenta Mathematicae
  | volume=25
  | pages=427–440
  | year=1935
  | 언어=de
  | url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv25i1p35bwm
  | zbl=0012.31902
 }}</ref>

== 응용 ==
[[물리학]], 특히 [[양자역학]]에 등장한다.<ref>{{저널 인용
 | last = Mosseri | first = R.
 | 공저자 = R. Dandoloff
 | title = Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations
 | 저널 = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
 | volume = 34
 | issue = 47 | pages = 10243–10252 | year = 2001 | doi = 10.1088/0305-4470/34/47/324
 | arxiv=quant-ph/0108137|bibcode=2001JPhA...3410243M|언어=en }}</ref> [[자기 홀극]]의 [[전자기 퍼텐셜]]은 호프 올뭉치를 이룬다.<ref>{{저널 인용
 | last = Urbantke | first = H.K.
 | title = The Hopf fibration — seven times in physics
 | journal = Journal of Geometry and Physics
 | url=http://www.itp.uni-hannover.de/~giulini/papers/DiffGeom/Urbantke_HopfFib_JGP46_2003.pdf
 | volume = 46 | issue = 2 | pages = 125–150 | year = 2003 | doi = 10.1016/S0393-0440(02)00121-3 | bibcode = 2003JGP....46..125U |언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용 | doi=10.2307/3219300|성=Lyons|이름=David W.|제목=An elementary introduction to the Hopf fibration|저널=Mathematics Magazine|권=76|호=2|쪽=87–98|날짜=2003-04|url=http://csunix1.lvc.edu/~lyons/pubs/hopf_paper_preprint.pdf|format =PDF|issn=0025-570X| jstor=3219300 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목={{lang|en|A young person’s guide to the Hopf fibration}}|이름=Zachary|성=Treisman|arxiv=0908.1205|bibcode=2009arXiv0908.1205T|날짜=2009-08|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Steenrod|이름=Norman|제목={{lang|en-GB|The Topology of Fibre Bundles}}|위치=[[프린스턴 (뉴저지주)|Princeton]]|출판사=[[프린스턴 대학교|Princeton University]] Press|날짜=1951|기타=Princeton Mathematical Series 14| isbn=978-0-691-00548-5  | 언어=en|mr=0039258|zbl=0942.55002}}
* {{저널 인용|제목={{lang|en|Introduction to division algebras, sphere algebras and twistors}}|이름=Martin|성=Cederwall|arxiv=hep-th/9310115|bibcode=1993hep.th...10115C|날짜=1993-10|언어=en}}

[[분류:올다발]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:호모토피 이론]]