호프 연환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Hopf_Link.png|thumb|right|호프 연환]]
[[매듭 이론]]에서 '''호프 연환'''(Hopf連環, {{llang|en|Hopf link}})은 서로 얽힌 두 개의 원이다. 가장 간단한, 자명하지 않은 [[연환]]이다.

== 정의 ==
'''호프 연환'''은 3차원 [[초구]] <math>\mathbb S^3</math> 속의, 두 개의 [[연결 성분]]을 가진, 자명하지 않은 유일한 [[연환]]이다. 그 알렉산더-브리그스 기호는 <math>2^2_1</math>이다.

이는 (2,2)-[[원환면 연환]]이다.

== 성질 ==
호프 연환 <math>L</math>의 매듭 여집합 <math>\mathbb S^3\setminus L</math>은 <math>\mathbb R\times\mathbb S^1\times\mathbb S^1</math>과 [[미분 동형]]이며, 따라서 그 [[매듭군]]은
:<math>\pi_1(\mathbb S^3\setminus L)\cong\mathbb Z^{\oplus2}</math>
이다.

=== 호프 올뭉치와의 관계 ===
[[호프 올뭉치]]
:<math>\pi\colon\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2</math>
를 생각하자. 임의의 <math>x,y\in\mathbb S^2</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne y</math>라면, 이 두 점의 [[원상]]으로 구성된 [[연환]]
:<math>\pi^{-1}(\{x,y\})\subsetneq \mathbb S^3</math>
은 항상 호프 연환이다. 이로부터, [[호프 올뭉치]]가 자명한 [[올다발]]이 아님을 알 수 있다.

== 역사 ==
16세기에 센요 소조({{llang|ja|専誉 僧正}}, 1530~1604)에 의하여 창시된, [[진언종]]의 종파인 풍산파({{llang|ja|豊山派|부잔하}})의 [[가몬|몬]]은 호프 연환의 모양을 하고 있다. 또한, 일본 아소({{llang|ja|麻生}}) 가문의 [[가몬]]인 지가이쿠기누키({{llang|ja|違釘抜}}) 역시 호프 연환을 나타낸다.

또한, 독일 [[라인란트팔츠 주]]의 마을인 포메른안데르모젤({{llang|de|Pommern an der Mosel}})의 [[문장 (상징)|문장]] 역시 호프 연환을 포함하고 있다.

<gallery>
Buzanha_wachigai_mon.jpg|[[진언종]] 풍산파의 [[가몬|몬]]은 호프 연환을 나타낸다.
Chigai kuginuki.svg|일본의 아소 가문의 [[가몬]]은 호프 연환을 나타낸다.
DEU Pommern (Mosel) COA.svg|독일 포메른안데르모젤의 [[문장 (상징)|문장]]은 호프 연환을 포함한다.
</gallery>

이후 [[하인츠 호프]]가 1931년에 [[호프 올뭉치]]가 자명한 [[올다발]]이 아님을 증명하기 위하여 이 개념을 사용하였다.<ref>{{저널 인용
 |last= Hopf
 |first= Heinz
 |author-link= 하인츠 호프
 |title= Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche
 |journal= Mathematische Annalen
 |publisher= Springer-Verlag
 |volume= 104
 |issue= 1
 |pages= 637–665
 |year= 1931
 |url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002274760
 |doi= 10.1007/BF01457962
 |언어=de
 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[보로메오 고리]]
* [[카테네인]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드|id=HopfLink|title=Hopf link}}
* {{웹 인용 | url=http://katlas.math.toronto.edu/wiki/L2a1 | 제목=L2a1 | 웹사이트=The Knot Atlas | 언어=en | 확인날짜=2017-09-11 | archive-date=2019-07-30 | archive-url=https://web.archive.org/web/20190730083527/http://katlas.math.toronto.edu/wiki/L2a1 | url-status= }}
* {{nlab|id=Hopf link}}

{{전거 통제}}

[[분류:매듭 이론]]