호프 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[수학]]에서 '''호프 대수'''({{llang|en|Hopf algebra}})는 곱셈과 쌍대곱셈({{lang|en|comultiplication}})이 정의되고, 두 구조가 '''앤티포드'''({{llang|en|antipode}})라는 연산을 통해 호환되는 [[결합 대수]]이다.<ref>{{서적 인용|성=Dăscălescu|이름=Sorin|공저자=Constantin Năstăsescu, Șerban Raianu|날짜=2001|제목=Hopf Algebras: An introduction|기타=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 235|publisher=Marcel Dekker|mr=1786197|zbl=0962.16026|isbn=0-8247-0481-9|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Sweedler|이름=Moss E.|제목=Hopf algebras|출판사=W. A. Benjamin, Inc.|위치=New York|기타=Mathematics Lecture Note Series|mr=0252485|zbl=0194.32901|year=1969|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=On Hopf algebras and their generalizations|arxiv=math/0703441|bibcode=2007math......3441K|doi=10.1080/00927870802182424|저널=Communications in Algebra|이름=Gizem|성=Karaali|권=36|호=12|쪽=4341–4367|날짜=2008-12-12|언어=en|issn=0092-7872|zbl=1166.16019|mr=2473333}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Lectures on Hopf algebras, quantum groups and twists|이름=Paolo|성=Aschieri|bibcode=2007hep.th....3013A|arxiv=hep-th/0703013|날짜=2007|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
''R''가 (단위원을 가진) [[가환환]]이라고 하자. '''''R''계수를 가진 호프 대수''' ''H''는 다음과 같은 구조를 갖춘다.
* (곱셈 {{llang|en|multiplication}}) <math>\nabla\colon H\otimes H\to H</math>
* (단위원 {{llang|en|unit}}) <math>\eta\colon R\to H</math>
* (쌍대곱셈 {{llang|en|comultiplication}}) <math>\Delta\colon H\to H\otimes H</math>
* (쌍대단위원 {{llang|en|counit}}) <math>\epsilon\colon H\to R</math>
* (앤티포드 {{llang|en|antipode}}) <math>S\colon H\to H</math>
이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. (<math>a,b,c\in H</math>, <math>r\in R</math>)
* <math>H</math>는 <math>R</math>에 대한 [[가군]]이고, <math>\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,S</math> 모두 ''R''-[[선형 변환]]이다.
* <math>(H,\nabla,\eta)</math>는 [[결합법칙]]을 만족시키고, [[단위원]]을 갖춘 [[대수 (환론)|대수]]다. 즉,
** (결합법칙) <math>\nabla\circ(\operatorname{id}\otimes\nabla)=\nabla\circ(\nabla\otimes\operatorname{id})</math>
** (단위원의 존재) <math>\nabla\circ(\operatorname{id}\otimes\eta)=\nabla\circ(\eta\otimes\operatorname{id})=\operatorname{id}</math>
* <math>(H,\Delta,\epsilon)</math>은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
** (쌍대결합법칙) <math>(\operatorname{id}\otimes\Delta)\circ\Delta=(\Delta\otimes\operatorname{id})\circ\Delta</math>
** (쌍대단위원의 존재) <math>(\operatorname{id}\otimes\epsilon)\circ\Delta=(\epsilon\otimes\operatorname{id})\circ\Delta=\operatorname{id}</math>
* 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, ''H''는 [[이중대수]]({{llang|en|bialgebra}})를 이룬다. 즉,
** (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) <math>\Delta\circ\nabla=(\nabla\otimes\nabla)\circ(\operatorname{id}\otimes\tau\otimes\operatorname{id})\circ(\Delta\otimes\Delta)</math>. 여기서 <math>\tau\colon a\otimes b\to b\otimes a</math>이다.
** (곱셈과 쌍대단위원의 호환성) <math>\epsilon\otimes\epsilon=\epsilon\circ\nabla</math>
** (쌍대곱셈과 단위원의 호환성) <math>\eta\otimes\eta=\Delta\circ\eta</math>
** (단위원과 쌍대단위원의 호환성) <math>\epsilon\circ\eta=\operatorname{id}</math>
* (앤티포드) <math>\nabla\circ(S\otimes\operatorname{id})\circ\Delta=\eta\circ\epsilon=\nabla\circ(\operatorname{id}\otimes S)\circ\Delta</math>

마지막 공리는 다음과 같은 [[가환 그림]]({{llang|en|commutative diagram}})으로 나타낼 수 있다.
:[[파일:Hopf algebra.svg|250px]]

== 역사와 어원 ==
[[하인츠 호프]]의 이름을 땄다.
== 예 ==
{| class="wikitable"
|-
!  !! 조건 !! 쌍대곱 !! 쌍대단위원 !! 앤티포드
|-
| [[군환|군대수]] <math>R[G]</math>  || <math>G</math>는 임의의 군  || Δ(''g'') = ''g'' ⊗ ''g'' || ε(''g'') = 1|| ''S''(''g'') = ''g''<sup>−1</sup>
|-
| [[텐서 대수]] T(''V'') || ''V''는 임의의 [[벡터 공간]] || Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x'' (''x'' &isin; ''V'')|| ε(''x'') = 0  || ''S''(''x'') = −''x'' (''x'' &isin; ''V'')
|-
| [[보편 포락 대수]] <math>U(\mathfrak g)</math> || <math>\mathfrak g</math>는 [[리 대수]] || Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x'' (''x'' &isin; <math>\mathfrak g</math>) || ε(''x'') = 0 || ''S''(''x'') = −''x''
|}

== 응용 ==
호프 대수의 개념은 [[이론물리학]]에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다.<ref>{{저널 인용|제목=Algebraic topology foundations of supersymmetry and symmetry breaking in quantum field theory and quantum gravity: a review|arxiv=0904.3644|bibcode=2009SIGMA...5..051B|doi=10.3842/SIGMA.2009.051|성=Baianu|이름=Ion C.|공저자=James F. Glazebrook, Ronald Brown|저널=Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications|권=5|쪽=51|언어=en|날짜=2009-04-23|issn=1815-0659|zbl=1160.81300|mr=2506161}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Review of AdS/CFT integrability, Chapter VI.2: Yangian algebra|arxiv=1012.4005|이름=Alessandro|성=Torrielli|날짜=2010|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
호프 대수의 개념은 [[하인츠 호프]]가 1941년에 [[콤팩트 리 군]]의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Heinz|성= Hopf|저자링크=하인츠 호프|제목=Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1941-01_42_1/page/n20|저널=Annals of Mathematics|권=42|호=1|날짜=1941-01|쪽=22–52|jstor=1968985|doi=10.2307/1968985|issn=0003486X|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[양자군]]

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Hopf algebra|이름=A.L.|성=Onishchik}}
* {{매스월드|id=HopfAlgebra|title=Hopf algebra|저자=Timothy Kohl}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수]]
[[분류:수학적 구조]]