호모토피 범주 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''호모토피 범주'''(homotopy範疇, {{llang|en|homotopy category}})는 주어진 [[모형 범주]]에서, 모든 약한 동치를 [[동형 사상]]으로 만들어 얻는 [[범주 (수학)|범주]]이다.

== 정의 ==
[[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 '''호모토피 범주'''({{llang|en|homotopy category}}) <math>\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>는 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* <math>\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>의 대상들은 <math>\mathcal C</math>의 대상 가운데 [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 것들이다.
* <math>\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>의 사상들은 <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[호모토피류]]이다. (정의역과 공역이 모두 [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]일 경우), 오른쪽 호모토픽 및 왼쪽 호모토픽 조건이 서로 [[동치]]이다.

== 성질 ==
[[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에서, 그 호모토피 범주로 가는, 다음 조건을 만족시키는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>H\colon \mathcal C\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>
가 항상 존재한다.
* <math>\mathcal C</math> 속의 약한 동치 <math>w\in\mathfrak W</math>의 상 <math>Fw</math>는 <math>\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>의 [[동형 사상]]이다.
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 상 <math>H(X)</math>는 <math>X</math> 자신이다.
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math> 및 사상 <Math>f\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>에 대하여, <math>Hf\in\hom_{\operatorname{Ho}(\mathcal C)}(X,Y)</math>는 <math>f</math>의 [[호모토피류]]이다.

이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않으나, 이러한 두 함자 사이에는 항상 유일한 [[자연 동형]]이 존재한다.

=== 퀼런 수반 ===
두 [[모형 범주]] <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math> 사이의 [[퀼런 수반 함자]]
:<math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>
:<math>G\colon\mathcal D\to\mathcal C</math>
:<math>F\dashv G</math>
가 주어졌을 때, 각각 [[왼쪽 유도 함자]]
:<math>\operatorname LF\colon\operatorname{Ho}(\mathcal C)\to\operatorname{Ho}(\mathcal D)</math>
및 [[오른쪽 유도 함자]]
:<math>\operatorname RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal D)\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>
를 정의할 수 있으며, 이 역시 서로 [[수반 함자]]
:<math>\operatorname LF\dashv \operatorname RG</math>
를 이룬다.

== 예 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 (퀼런) [[모형 범주]]의 호모토피 범주는 [[CW 복합체]]와 그 사이의 [[연속 함수]]의 [[호모토피류]]들의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=homotopy category of a model category|title=Homotopy category of a model category}}
* {{nlab|id=homotopy category|title=Homotopy category}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:범주론]]