형식적 실체 문서 원본 보기

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[[체론]]에서 '''형식적 실체'''(形式的實體, {{llang|en|formally real field}})는 [[순서체]]로 만들 수 있는 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 '''수준'''(水準, {{llang|de|Stufe|슈투페}}) <math>\operatorname{Stufe}K</math>은 <math>-1</math>을 제곱수들의 합으로 나타내었을 때 필요한 항들의 수의 최솟값이다. 만약 <math>-1</math>을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없는 경우, 수준은 <math>\infty</math>이다.
:<math>\operatorname{Stufe}K=\min\left\{|S|\colon\sum_{s\in S}s^2=-1,\;S\subseteq K,|S|<\aleph_0\right\}\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>

체 <math>K</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 체를 '''형식적 실체'''({{llang|en|formally real field}})라고 한다.
* 수준이 무한대이다. <math>\operatorname{Stufe}K=\infty</math>
* [[피타고라스 체|피타고라스 수]]가 무한대이며 (즉, 제곱수의 합이 아닌 원소가 존재하며), [[체의 표수|표수]]가 2가 아니다.
* <math>K</math>의 원소들로 구성된 임의의 유한 [[중복집합]] <math>S</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\sum_{s\in S}s^2=0</math>이라면 <math>S</math>의 모든 원소들은 0이다.
* <math>K</math>의 원소들로 구성된 임의의 유한 [[중복집합]] <math>S</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\sum_{s\in S}s^2=0</math>이라면 <math>S</math>의 모든 원소들은 0이다.
* <math>K</math>는 [[순서체]]가 될 수 있다. 즉, <math>K</math>를 순서체로 만드는 [[전순서]]가 존재한다.

== 성질 ==
모든 체의 수준은 항상 무한대이거나 아니면 2의 [[거듭제곱]]이다.
:<math>\operatorname{Stufe}K\in\{\infty,1,2,4,8,\dots\}</math>
만약 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.
:<math>\operatorname{char}K=2\implies\operatorname{Stufe}K=1</math>
만약 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 양수라면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.
:<math>\operatorname{char}K>0\implies\operatorname{Stufe}K\in\{1,2\}</math>

만약 <math>K</math>에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, <math>K</math>의 수준은 항상 1이다.
:<math>\left(\forall a\in K\exists b\in K\colon b^2=a\right)\implies\operatorname{Stufe}K=1</math>

'''지겔 정리'''({{llang|en|Siegel’s theorem}})에 따르면, [[대수적 수체]]의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.

<math>K</math>의 준위는 [[피타고라스 체|피타고라스 수]] <math>\operatorname{Pyth}K</math>와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.
:<math>\operatorname{Pyth}K\le\operatorname{Stufe}K+1</math>
형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Stufe}K<\infty\implies\operatorname{Stufe}K\le\operatorname{Pyth}K\le\operatorname{Stufe}K+1</math>

모든 형식적 실체는 ([[순서체]]로 만들 수 있으므로) 표수가 0이다. 모든 [[실폐체]]는 형식적 실체이다. 형식적 실폐 <math>K</math>의 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>가 주어졌을 때, <math>K</math>를 포함하는 <math>\bar K</math> 속의 유일한 실폐체 <math>K^{\operatorname{re}}</math>가 존재하며, 이를 <math>K</math>의 '''실폐포'''({{llang|en|real closure}})라고 한다.

== 예 ==
대표적인 체의 수준은 다음과 같다.

{| class=wikitable
! 체 !! 수준
|-
| [[대수적으로 닫힌 체]] || 1
|-
| [[실폐체]] || ∞
|-
| [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math> || ∞
|-
| 유한체 <math>\mathbb F_q</math>, <math>q\equiv3\pmod4</math> || 2
|-
| 유한체 <math>\mathbb F_q</math>, <math>q\not\equiv3\pmod4</math> || 1
|-
| 비아르키메데스 [[국소체]] <math>K</math>, [[이산 값매김환]] <math>\mathcal O_K</math>의 [[잉여류체]] <math>\mathbb F_{p^n}</math>의 [[체의 표수|표수]]가 홀수인 경우 || <math>p</math>
|-
| [[p진수체|2진수체]] <math>\mathbb Q_2</math> || 4
|-
| [[가우스 유리수]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-1})</math> || 1
|-
| [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-2})</math> || 2
|-
| [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-7})</math> || 4
|}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 | 언어=en }}
* {{서적 인용| title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=Lectures on formally real fields | 이름=A. |성=Prestel | 날짜=1984 | doi=10.1007/BFb0101548 | isbn =978-3-540-13885-3 | 총서 = Lecture Notes in Mathematics | 권 = 1093 | issn=0075-8434 | 출판사=Springer | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=formally real field|title=Formally real field}}
* {{nlab|id=formally real algebra|title=Formally real algebra}}

== 같이 보기 ==
* [[피타고라스 체]]
* [[실폐체]]

{{전거 통제}}

[[분류:체론]]