형식적 멱급수 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서 '''형식적 멱급수'''(形式的冪級數, {{llang|en|formal power series}})는 [[수렴]]할 필요가 없는 [[멱급수]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 '''형식적 멱급수환''' <math>R[[x]]</math>는 집합으로서 <math>R^{\mathbb N}</math>이다. 형식적 멱급수환에서, 원소
:<math>(r_0,r_1,r_2,\dots)</math>
는 통상적으로
:<math>\sum_{n=0}^\infty r_nx^n=r_0+r_1x+r_2x^2+\cdots</math>
으로 쓴다.

<math>R^{\mathbb N}</math> 위에는 자연스러운 [[아벨 군]] 및 좌·우 <math>R</math>-[[가군]] 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, [[환 (수학)|환]]으로 만들 수 있다.
:<math>\left(\sum_{n=0}^\infty r_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty s_nx^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^nr_ks_{n-k}x^n</math>
이에 따라 <math>R[[x]]</math>는 결합 <math>R</math>-[[대수 (환론)|대수]]를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 '''형식적 멱급수'''라고 한다. <math>R[[x_1,x_2,\dots,x_n]]</math>은 <math>R[[x_1]][[x_2]]\cdots[[x_n]]</math>을 뜻한다.

=== 미분 ===
형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 <math>R</math>-선형 연산
:<math>D\colon R[[x]]\to R[[x]]</math>
:<math>D\colon\sum_{n=0}^\infty r_nx^n\mapsto\sum_{n=0}^\infty nr_nx^{n-1}</math>
이 존재하며, 이를 '''[[미분]]'''이라고 한다.

=== 합성 ===
임의의 <math>a,b\in R[[x]]</math>가 주어졌고, <math>b_0=0</math>이라고 하자 (즉, <math>b\in(x)</math>). 그렇다면 <math>a</math>와 <math>b</math>의 '''합성''' <math>a\circ b\in R[[x]]</math>은 다음과 같다.
:<math>a\circ b=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\sum_{j\in(\mathbb Z^+)^k}^{j_1+\cdots+j_k=n}a_k b_{j_1} b_{j_2} \cdots b_{j_k}x^n</math>

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 합성의 [[결합 법칙]]이 성립한다. 하지만 [[가환환]]이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

== 성질 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여,
* 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, <math>R[[x]]</math> 역시 [[가환환]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이라면, <math>R[[x]]</math> 역시 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[정역]]이라면, <math>R[[x]]</math> 역시 [[정역]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]라면, <math>R[[x]]</math>는 [[이산 값매김환]]이다.

형식적 멱급수환의 원소
:<math>a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in R[[x]]</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>a\in R[[x]]</math>는 [[가역원]]이다.
* <math>a_0\in R</math>는 [[가역원]]이다.
구체적으로, <math>a</math>의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
:<math>(a^{-1})_0=a_0^{-1}</math>
:<math>(a^{-1})_n=-a_0^{-1}\sum_{i=1}^n a_i(a^{-1})_{n-i}=- \sum_{i=1}^n(a^{-1})_{n-i} a_ia_0^{-1}\qquad(n\ge1)</math>

=== 거리 공간 구조 ===
형식적 멱급수환 <math>R[[x]]</math> 위에 다음과 같은 [[거리 함수]]를 정의할 수 있다.
:<math>d(a,b)=2^{-\min\{n\in\mathbb N\colon a_n\ne b_n\}}\qquad(a\ne b)</math>
형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 [[완비 거리 공간]]을 이루며, 또한 [[위상환]]을 이룬다.<ref name="Grillet">{{서적 인용
|성=Grillet
|이름=Pierre Antoine
|제목=Abstract Algebra
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=242
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2007
|isbn=978-0-387-71567-4
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-0-387-71568-1
|lccn=2007928732
}}</ref>{{rp|132, §III.7, Exercise 5}} 이는 [[다항식환]] <math>R[x]</math>의 [[완비화]]이다.<ref name="Grillet" />{{rp|132, §III.7, Exercise 6}}

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수
:<math>a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in R[[x]]</math>
는 부분합의 점렬
:<math>(a_0,a_0+a_1x,a_0+a_1x+a_2x^2,\dots)</math>
의 극한이다.

== 형식적 로랑 급수 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, '''형식적 로랑 급수체''' <math>K((x_1,x_2,\dots,x_n))</math>은 형식적 멱급수환의 [[분수체]]이다.
:<math>K((x_1,x_2,\dots,x_n))=\operatorname{Frac}(K[[x_1,x_2,\dots,x_n]])=\operatorname{Frac}(K[[x_1]][[x_2]]\cdots[[x_n]])</math>
정의에 따라, 이는 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 구체적으로, <math>p\in K((x))</math>는
:<math>p=\sum_{i=m}^\infty p_ix^i</math>
의 꼴로 전개할 수 있다 (<math>m\in\mathbb Z</math>). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) [[복소해석학]]의 [[로랑 급수]]와 다르다.

[[다항식환]], [[유리 함수체]], 형식적 멱급수환에서는
:<math>K[x][y]\cong K[x,y]</math>
:<math>K(x)(y)\cong K(x,y)</math>
:<math>K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]</math>
가 성립하지만, <math>K((x,y))</math>와 <math>K((x))((y))</math>는 서로 다른 체이다. 일반적으로, <math>K((x,y))</math>는 <math>K(x)((y))</math>의 부분환이며, 단사 준동형
:<math>K((x,y))\stackrel{\iota_x}{\hookrightarrow} K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))</math>
:<math>K((x,y))\stackrel{\iota_y}{\hookrightarrow} K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))</math>
이 존재한다. 예를 들어,
:<math>\iota_x\colon\frac1{x-y}\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}y^2+\cdots\in K(x)((y))</math>
:<math>\iota_y\colon\frac1{x-y}\mapsto-y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}x^2-\cdots\in K(y)((x))</math>
이다.
그러나 <math>\iota_x</math> 및 <math>\iota_y</math>는 [[동형 사상]]이 아니다. 예를 들어,
:<math>\sum_{n=0}^\infty x^{-n^2}y^n\in K(x)((y))\setminus \iota_x(K((x,y)))</math>
이다.<ref>{{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/34010/explicit-elements-of-kxy-setminus-kx-y|제목=Explicit elements of K((x))((y))∖K((x,y))|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2015-02-06|보존url=https://web.archive.org/web/20150206060151/http://mathoverflow.net/questions/34010/explicit-elements-of-kxy-setminus-kx-y|보존날짜=2015-02-06|url-status=dead}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[다항식환]]
* [[퓌죄 급수]]
* [[국소화 (환론)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=FormalPowerSeries|title=Formal power series}}

{{급수}}

[[분류:환론]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:열거조합론]]