형식적 군 법칙 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서, '''형식적 군 법칙'''(形式的群法則, {{llang|en|formal group law}})은 [[리 군]]의 국소적 곱셈 법칙을 [[형식적 멱급수]]로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 [[결합 법칙]]을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 [[리 대수]]와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다.

== 정의 ==
임의의 [[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자.

형식적 변수 <math>\mathsf x_1,\mathsf x_2,\dotsc,\mathsf x_n,\mathsf y_1,\mathsf y_2,\dotsc,y_n</math>을 생각하자. 편의상 이들을
:<math>\mathsf x = (\mathsf x_1,\dotsc,\mathsf x_n)</math>
:<math>\mathsf y = (\mathsf y_1,\dotsc,\mathsf y_n)</math>
와 같이 표기하자.

이에 대한 [[형식적 멱급수환]]
:<math>K[[\mathsf x,\mathsf y]]</math>
을 생각하자. 이에 대한 '''형식적 군 법칙'''은 <math>n</math>개의 형식적 멱급수
:<math>F = (F_1,F_2,\dotsc,F_n)</math>
:<math>F_1,\dotsc,F_n \in K[[\mathsf x,\mathsf y]]</math>
로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>F(\mathsf x,\mathsf y) = \mathsf x + \mathsf y + O(\mathsf x^2,\mathsf y^2,\mathsf{xy})</math> (군 법칙의 최소차항)
:<math>F(\mathsf x, F(\mathsf y,{\mathsf z})) =  F(F(\mathsf x,\mathsf y),{\mathsf z})</math> (형식적 [[결합 법칙]])

형식적 군 법칙 <math>F</math>가 다음 조건을 따른다면, '''가환 형식적 군 법칙'''({{llang|en|commutative formal group law}})이라고 한다.
:<math>F(\mathsf x,\mathsf y) =  F(\mathsf y,\mathsf x)</math>

=== 준동형 ===
같은 [[가환환]] <math>K</math>를 계수로 하는 <math>m</math>차원 형식적 군 법칙 <math>F</math>와 <math>n</math>차원 형식적 군 법칙 <math>G</math> 사이의 '''형식적 군 법칙 준동형'''({{llang|en|formal group law homomorphism}}) <math>f\colon F \to G</math>은 다음 조건을 만족시키는 다항식
:<math>f_1,f_2,\dotsc,f_n \in K[[\mathsf x_1,\mathsf x_2,\dotsc,\mathsf x_n]]</math>
이다.
:<math>G(f(\mathsf x), f(\mathsf y)) =  f(F(\mathsf x,\mathsf y))</math>
역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는 <math>m=n</math>일 때에만 존재한다.) 형식적 군 법칙 동형이
:<math>f(\mathsf x) = \mathsf x+ O(\mathsf x^2)</math>
이라면, 이를 '''순동형'''(純同形, {{llang|en|strict isomorphism}})이라고 한다.

== 성질 ==
형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙 <math>F</math>에 대하여, 항상
:<math>F(\mathsf x, G(\mathsf x)) = 0</math>
인 <math>G \in K[[\mathsf x]]</math>가 존재한다.

=== 로그 ===
만약 [[가환환]] <math>K</math>가 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>를 포함한다면, <math>K</math> 계수의 임의의 <math>n</math>차원 형식적 군 법칙 <math>F</math>는 덧셈 형식적 군 법칙와 순동형이다. 즉, 어떤 순동형 <math>\log</math>에 대하여
:<math>\log(F(\mathsf x,\mathsf y)) = f(\mathsf x) + f(\mathsf y)</math>
가 된다.

=== 리 대수와의 관계 ===
임의의 <math>n</math>차원 형식적 군 법칙
:<math>F_i(\mathsf x,\mathsf y) = \mathsf x_i + \mathsf y_i + \sum_{j,k}f_i{}^{jk}\mathsf x^j \mathsf y^k + \sum_{j,k}f'_i{}^{jk}\mathsf x^j\mathsf x^k + \sum_{j,k}f''_i{}^{jk}\mathsf y^j \mathsf y^k  \dotsb </math>
에서, <math>f_i{}^{jk}</math>는 <Math>n</math>차원 [[리 대수]]를 정의한다.
:<math>[x,y] + O(x^3,y^3,xy^2,yx^2) = F(x,y) - F(y,x)</math>
표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다.

== 예 ==
'''덧셈 형식적 군 법칙'''은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다.
:<math>F(\mathsf x,\mathsf y) = \mathsf x+\mathsf y</math>

임의의 <math>a\in K</math>에 대하여, '''곱셈 군 법칙'''은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다.
:<math>F(\mathsf x,\mathsf y) = \mathsf x + \mathsf y + u\mathsf x\mathsf y</math>

=== 리 군의 형식적 군 법칙 ===
<math>n</math>차원 [[리 군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우, 그 [[리 대수]] <math>\mathfrak{lie}(G)</math>의 임의의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 잡고, [[리 지수 함수]]
:<math>\exp \colon \mathfrak{lie}(G) \to G</math>
로서 <math>G</math>의, 항등원 <Math>1\in G</math> [[근방]]의 [[국소 좌표계]]를 정의할 수 있다. <math>G</math>의 곱셈은 [[매끄러운 함수]]이므로 이에 대한 [[테일러 급수]]를 취할 수 있으며, 이는 <math>n</math>차원 실수 계수 형식적 군 법칙을 이룬다.

=== 특수 상대성 이론 ===
[[특수 상대성 이론]]의 속도 덧셈 공식
:<math>F(\mathsf x,\mathsf y) = \frac{\mathsf x+\mathsf y}{1+\mathsf x\cdot \mathsf y}</math>
은 형식적 군 법칙을 이룬다.

== 역사 ==
잘로몬 보흐너({{llang|de|Salomon Bochner}})가 1946년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Bochner | first1=Salomon  | title=Formal Lie groups | jstor=1969242 | mr=0015397 | doi=10.2307/1969242 | year=1946 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=47 | pages=192–201|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[비트 벡터]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Formal group}}
* {{nlab|id=formal group|title=Formal group}}

[[분류:다항식]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수군]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:대수적 수론]]