현수 (위상수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Suspension.svg|섬네일|right|[[원 (기하학)|원]](파란색)의 현수(검은색)는 [[구 (기하학)|구]]와 [[위상동형]]이다: <math>\mathrm S \mathbb S^1 \cong \mathbb S^2</math>.]]
[[대수적 위상수학]]에서, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 '''현수'''(懸垂, {{llang|en|suspension}})는 그 위상 공간에 단위 [[폐구간]]을 [[곱공간|곱해]], 양 끝을 각각 한 점으로 치환한 [[몫공간]]이다. 관련된 개념으로, '''축소 현수'''(縮小懸垂, {{llang|en|reduced suspension}})는 현수보다 더 많은 점들을 동일화시킨 [[몫공간]]이다.

[[호몰로지]]와 [[호모토피 군]] 등 [[대수적 위상수학]]에서 쓰이는 개념들은 (축소) 현수에 대하여 자연스러운 성질들을 보인다.

== 정의 ==
=== 현수 ===
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math>의 '''현수''' <math>\mathrm SX</math>는 다음과 같은 [[몫공간]]이다.
:<math>\mathrm SX=(X\times[0,1]/(X\times\{0\}))/(X\times\{1\})</math>
여기서 <math>[0,1]\subset\mathbb R</math>은 표준적인 위상이 주어진 단위 [[폐구간]]이다. 즉, [[곱공간]] <math>X\times[0,1]</math>에서 양 끝 <math>X\times\{0\},X\times\{1\}\subset X\times[0,1]</math>을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 [[몫공간]]이다. 만약 [[연속함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수
:<math>\mathrm Sf\colon\mathrm SX\to\mathrm SY</math>
:<math>\mathrm Sf\colon (x,r)\in\mathrm SX\mapsto (f(x),r)\in\mathrm SY</math>
가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 [[연속 함수]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>의 [[자기 함자]]
:<math>\mathrm S\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}</math>
를 이룬다.

=== 축소 현수 ===
<math>(X,x_0)</math>가 [[점을 가진 공간]]이라고 하자. 그 '''축소 현수''' <math>\Sigma X</math>는 다음과 같은 [[몫공간]]이다.
:<math>\Sigma X=X\wedge\mathbb S^1=X\times\mathbb S^1/(X\vee\mathbb S^1)=X\times[0,1]/(X\times\{0,1\}\cup\{x_0\}\times[0,1])</math>
여기서 <math>\wedge</math>는 [[분쇄곱]]이고, <math>\vee</math>는 [[쐐기합]]이며, <math>\mathbb S^1</math>은 [[원 (기하학)|원]]이다. [[점을 가진 공간]]의 축소 현수는 자연스러운 밑점 <math>X\vee\mathbb S^1\subset\Sigma X</math>을 가진다.

현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수 <math>f\colon(X,x_0)\to(Y,y_0)</math>가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수
:<math>\Sigma f\colon\Sigma X\to\Sigma Y</math>
가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 [[점을 가진 공간]]들과 점을 보존시키는 [[연속 함수]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}_\bullet</math>의 [[자기 함자]]
:<math>\Sigma\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Top}_\bullet</math>
를 이룬다. 이 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[고리 공간]] 함자 <math>\Omega X</math>이다.

== 성질 ==
[[CW 복합체]] <math>X</math>의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 [[호모토피 동치]]이다.
:<math>\operatorname SX\simeq\Sigma X</math>

<math>X</math>가 점을 갖는 [[CW 복합체]]이며, <math>n</math>차 이하 [[호모토피 군]]이 자명하다고 하자. 그렇다면 함수
:<math>X\to\Omega(\Sigma X)</math>
로 인하여, 호모토피 군의 준동형
:<math>\pi_\bullet(X)\to\pi_\bullet(\Omega(\Sigma X))\cong\pi_{\bullet+1}(\Sigma X)</math>
이 존재한다. [[프로이덴탈 현수 정리]]에 따르면, 이 준동형 사상은 <math>\bullet\le2n</math>일 경우는 [[동형]]이며, <math>\bullet=2n+1</math>일 경우는 [[전사 사상|전사]]이다.

프로이덴탈 현수 정리에 따라서, 만약 <math>X</math>가 [[n-연결 공간]]일 경우, <math>\Sigma^kX</math>는 <math>(n+k)</math>-연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다. <math>X</math>의 <math>\bullet</math>차 '''안정 호모토피 군'''({{llang|en|stable homotopy group}})은 충분히 큰 <math>k</math>에 대한
:<math>\pi_{\bullet+k}(\Sigma^kX)</math>
이다.

== 예 ==
<math>n</math>차원 [[초구]]의 현수는 <math>n+1</math>차원 [[초구]]와 [[위상 동형]]이며, 축소 현수는 이와 [[호모토피 동치]]이지만 [[위상 동형]]이 아니다.
:<math>\Sigma\mathbb S^n\simeq\mathrm S\mathbb S^n\cong\mathbb S^{n+1}</math>

== 역사 ==
프로이덴탈 현수 정리는 1928년에 [[한스 프로이덴탈]]이 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=H.|last=Freudenthal|저자링크=한스 프로이덴탈|title=Über die Klassen der Sphärenabbildungen I. Große Dimensionen|journal=Compositio Mathematica|volume=5|날짜=1938|pages=299–314|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1938__5__299_0|issn=0010-437X|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic Topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |year= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |isbn=0-521-79540-0|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Suspension}}
* {{nlab|id=suspension|title=Suspension}}
* {{nlab|id=Reduced suspension|title=Reduced suspension}}
* {{nlab|id=suspension object|title=Suspension object}}
* {{nlab|id=Freudenthal suspension theorem}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Suspension|제목=Suspension|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Reduced_suspension|제목=Reduced suspension|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Homology_for_suspension|제목=Homology for suspension|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Suspension_functor|제목=Suspension functor|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[고리 공간]]
* [[안정 호모토피 이론]]

[[분류:호모토피 이론]]