헬리의 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Helly's theorem.svg|섬네일|400px|유클리드 평면에서 헬리의 정리: 볼록 집합의 집합에 대해서 집합의 원소 세 개의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체의 교집합은 공집합이 아니다.]]
'''헬리의 정리'''는 [[볼록 다각형]]의 [[교집합]]에 관한 [[이산 기하학]]의 기본적인 결과이다. 이것은 1913년에 [[에두아르트 헬리]]가 발견했다<ref>{{harvtxt|Danzer|Grünbaum|Klee|1963}}.</ref>. 하지만 1923년까지는 그는 출판하지 않았고, 그 때는 이미 {{harvtxt|Radon|1921}}와 {{harvtxt|König|1922}}에 의해서 다른 증명이 나왔었다. 헬리의 정리는 [[헬리족]]의 개념을 제시했다.

== 명제 ==
{{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}}를 {{math|''n'' > ''d''}}인 {{math|'''R'''<sup>''d''</sup>}}의 볼록 부분집합의 유한한 집합이라고 하자. 만약 모든 이 집합의 원소 {{math|''d''&nbsp;+&nbsp;1}}개의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니다;

:<math>\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\varnothing.</math>

무한한 집합에서는 콤팩트성을 가정해야 한다:

{{math|{''X<sub>α</sub>''} }}를 {{math|'''R'''<sup>''d''</sup>}}의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] 볼록 부분집합의 집합이라고 가정하면, [[집합의 크기|크기]]가 {{math|''d''&nbsp;+&nbsp;1}}인 모든 부분집합의 교집합이 공집합이 아니라고 하면, 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니다.

== 증명 ==
{{harvtxt|Radon|1921}}가 [[라돈의 정리]]를 통해서 유한한 경우를 증명했다. 그러면 무한한 경우는 [[콤팩트 공간|콤팩트성]]의 [[유한 교집합 성질]] 특성화를 따른다: 콤팩트 공간의 닫힌 부분집합의 집합은 모든 유한한 부분집합의 교집합이 공집합이 아닐 때만 공집합이 아니다 (한번 한 집합을 고정하면, 그것을 포함하는 다른 모든 것들의 교집합은 고정한 콤팩트 공간의 닫힌 부분집합이다).

증명은 [[수학적 귀납법|귀납법]]으로 이루어졌다:

<ins>기본적인 경우:</ins> {{math|''n'' {{=}} ''d''&nbsp;+&nbsp;2}}라고 가정하면, 가정에 의해 모든 {{math|''j'' {{=}} 1, ..., ''n''}}에 대해서 {{math|''X<sub>j</sub>''}}의 가능한 예와가 있는 모든 {{math|''X<sub>i</sub>''}}의 공통 교집합의 점 {{math|''x<sub>j</sub>''}}가 있다. 이제 {{math|''A'' {{=}} {''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}}}에 [[라돈의 정리]]를 사용한다. {{mvar|A}}는 {{math|''A''<sub>1</sub>}}의 [[볼록 폐포]]가 {{math|''A''<sub>2</sub>}} 의 볼록폐포와 교차하는 {{mvar|A}}의 서로소 부분집합 {{math|''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>}}을 준다. {{mvar|p}}가 이 두 볼록 폐포의 교집합에 있는 점이라고 가정하자. 그러면 다음과 같이 말할 수 있다:

:<math>p\in\bigcap_{j=1}^n X_j.</math>

이제, 어떤 {{math|''j'' ∈ {1, ..., ''n''}}}에 대하여 생각하자. {{math|''p'' ∈ ''X<sub>j</sub>''}}를 증명해야만 한다. {{math|''X<sub>j</sub>''}}에 있지 않을 수 있는 {{mvar|A}}의 원소는 {{math|''x<sub>j</sub>''}}라는 것을 기억하라. {{math|''x<sub>j</sub>'' ∈ ''A''<sub>1</sub>}}일 경우에는, {{math|''x<sub>j</sub>'' ∉ ''A''<sub>2</sub>}}이고, 따라서 {{math|''X<sub>j</sub>'' ⊃ ''A''<sub>2</sub>}}이다. {{math|''X<sub>j</sub>''}}가 볼록이기 때문에, 이것은 또한 {{math|''A''<sub>2</sub>}}의 볼록 폐포를 포함하고 따라서 또한 {{math|''p'' ∈ ''X<sub>j</sub>''}}이다. 비슷하게, {{math|''x<sub>j</sub>'' ∉ ''A''<sub>1</sub>}}이면, {{math|''X<sub>j</sub>'' ⊃ ''A''<sub>1</sub>}}이고, 같은 추론으로 {{math|''p'' ∈ ''X<sub>j</sub>''}}이다. {{mvar|p}}가 모든 {{math|''X<sub>j</sub>''}}에 있기 때문에, 이것은 반드시 교집합에 있어야 한다.

위에서, 점 {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}}들은 모두 떨어져 있다고 가정했다. 이렇지 않은 경우에는, 일부 {{math|''i'' ≠ ''k''}}에 대해서 {{math|''x<sub>i</sub>'' {{=}} ''x<sub>k</sub>''}}라고 하면, {{math|''x<sub>i</sub>''}}는 집합 {{math|''X<sub>j</sub>''}}의 전부에 있다, 그리고 다시 교집합은 공집합이 아니라고 결론지을 수 있다. 이것은 {{math|''n'' {{=}} ''d''&nbsp;+&nbsp;2}}인 경우의 증명을 완성한다.

<ins>귀납적 단계:</ins> {{math|''n''&nbsp;>&nbsp;''d''&nbsp;+&nbsp;2}}이고 {{math|''n''−1}}일 때 위의 명제가 참이라고 가정하자. 위의 증명은 어떤 집합 {{math|''d''&nbsp;+&nbsp;2}} 개의 부분집합의 교집합은 공집합이 아니라는 것을 보인다. 이제는 두 집합 {{math|''X''<sub>''n''−1</sub>}}과 {{math|''X<sub>n</sub>''}}을 하나의 집합 {{math|''X''<sub>''n''−1</sub> ∩ ''X<sub>n</sub>''}}으로 바꾼 집합을 고려한다. 이 새로운 집합에서, 모든 집합 {{math|''d''&nbsp;+&nbsp;1}} 개의 부분집합의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서 유도 가설이 적용되고, 이 새로운 집합의 교집합이 공집합이 아니라는 것을 보인다. 이것은 원래의 집합에 동일하게 적용되고, 증명을 완성한다.

== 같이 보기 ==
* [[카라테오도리 정리 (볼록 폐포)|카라테오도리의 정리]]
* [[Shapley–Folkman 보조정리]]
* [[크레인-밀만 정리]]
* [[쇼케 정리]]
* [[라돈의 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용
 | last = Bollobás | first = B. | author-link = Béla Bollobás
 | contribution = Problem 29, Intersecting Convex Sets: Helly's Theorem
 | isbn = 0-521-69395-0
 | pages = 90–91
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = The Art of Mathematics: Coffee Time in Memphis
 | year = 2006}}.
* {{인용
 | last1 = Danzer | first1 = L.
 | last2 = Grünbaum | first2 = B. | author2-link = Branko Grünbaum
 | last3 = Klee | first3 = V. | author3-link = Victor Klee
 | contribution = Helly's theorem and its relatives
 | pages = 101–179
 | publisher = [[American Mathematical Society]]
 | series = Proc. Symp. Pure Math.
 | title = Convexity
 | url = 
 | volume = 7
 | year = 1963}}.
* {{인용
 | last = Eckhoff | first = J.
 | contribution = Helly, Radon, and Carathéodory type theorems
 | location = Amsterdam
 | pages = 389–448
 | publisher = North-Holland
 | title = Handbook of Convex Geometry
 | volume = A, B
 | year = 1993}}.
* [[Heinrich Guggenheimer]] (1977) ''Applicable Geometry'', page 137, Krieger, Huntington {{ISBN|0-88275-368-1}} .
* {{인용
 | last = Helly | first = E. | author-link = Eduard Helly
 | journal = Jahresbericht der [[German Mathematical Society|Deutschen Mathematiker-Vereinigung]]
 | pages = 175–176
 | title = Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten
 | volume = 32
 | year = 1923}}.
* {{인용
 | last = König | first = D. | author-link = Dénes Kőnig
 | doi = 10.1007/BF01215899
 | issue = 1
 | journal = Mathematische Zeitschrift
 | pages = 208–220
 | title = Über konvexe Körper
 | volume = 14
 | year = 1922}}.
* {{인용
 | last = Radon | first = J. | author-link = Johann Radon
 | doi = 10.1007/BF01464231
 | issue = 1–2
 | journal = [[Mathematische Annalen]]
 | pages = 113–115
 | title = Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten
 | volume = 83
 | year = 1921}}.

[[분류:볼록기하학 정리]]
[[분류:이산기하학 정리]]