헬름홀츠 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Helmholtz source.png|right|섬네일|평면에서 두 개의 방사하는 소스, 주어진 함수 <math>f</math>는 블루 지역에서 제로를 의미한다.]]
[[파일:Helmholtz solution.png|right|섬네일|다음 <math>A,</math>의 [[실수]]영역이며, <math>A</math>는 비동차(inhomogeneous) 헬름홀츠 방정식의 해이다 <math>(\nabla^2 + k^2) A = -f.</math>]]
[[수학]]에서 '''헬름홀츠 방정식'''(Helmholtz equation)은 2차 [[편미분 방정식]]의 하나다. [[물리학]]에서 자주 등장한다. 독일의 [[물리학자]] 및 [[생리학자]] [[헤르만 폰 헬름홀츠]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] 위에 함수 <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>을 생각해 보자. 그렇다면 <math>f</math>에 대한 '''헬름홀츠 방정식'''은 다음과 같다.
:<math>(\nabla^2 + k^2)f(\mathbf x)= 0.</math>
여기서 <math>\nabla^2</math>는 [[라플라스 연산자]]이고, <math>k</math>는 상수다.

== 2차원 헬름홀츠 방정식 ==
[[극좌표계]]에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 [[변수분리법]]을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.
:<math>f(r,\theta)=\sum_{n=0}^\infty\left(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\right)\left(c_nJ_n(kr)+d_nY_n(kr)\right)</math>.
여기서 <math>J_n(kr)</math>과 <math>Y_n(kr)</math>은 [[베셀 함수]]다. 만약 <math>f</math>가 원점 <math>r=0</math>에서 연속적이려면 (<math>Y_n(kr)</math>은 원점에서 발산하므로) <math>d_n=0</math>이어야 한다.

== 3차원 헬름홀츠 방정식 ==
[[구면좌표계]]에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 [[변수분리법]]을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.
:<math>f(r,\theta,\phi)=\sum_{m,l}Y_l^m(\theta,\phi)\left(c_nj_n(kr)+d_ny_n(kr)\right)</math>.
여기서 <math>j_n(kr)</math>과 <math>y_n(kr)</math>은 [[구면 베셀 함수]]이고, <math>Y_l^m(\theta,\phi)</math>는 [[구면 조화 함수]]다.

== 응용 ==
<math>k^2=-m^2</math>이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 [[계량 부호수]])에서의) [[클라인-고든 방정식]]이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 [[그린 함수]]
:<math>(\nabla^2-m^2)f(\mathbf x)=\delta(\mathbf x)</math>
는 점입자의 퍼텐셜이 된다. [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 <math>r=\Vert\mathbf x\Vert</math>이다.

{| class="wikitable"
|-
! 차원 !! 그린 함수 !! <math>m=0</math>인 그린 함수
|-
| 2 || <math>-K_0(mx)/2\pi</math> || <math>(\ln r)/2\pi</math>
|-
| 3 || <math>-\exp(-mr)/(4\pi r)</math> || <math>-1/(4\pi r)</math>
|-
| ''n''&gt;2 || <math>-(n-2)(2\pi)^{-1}(m/2\pi r)^{n/2-1}K_{n/2-1}(mr)</math> || <math>-1/(V_nr^{n-2})</math>
|}
여기서
:<math>V_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}</math> (<math>n>2</math>)
는 반지름이 1인 <math>n-1</math>차원 [[초구]]의 (초)면적이고, <math>\Gamma</math>는 [[감마 함수]]다. <math>K_\alpha(x)</math>는 [[베셀 함수]]의 하나다. <math>m=0</math>인 경우 헬름홀츠 방정식은 [[푸아송 방정식]]이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 <math>m</math>의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 [[유카와 퍼텐셜]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[라플라스 방정식]]
* [[베셀 함수]]
* [[부분파 방법]]

== 참고 문헌 ==
* {{매스월드|id=HelmholtzDifferentialEquation|title=Helmholtz Differential Equation}}
* {{웹 인용|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde303.pdf|제목=EqWorld: Helmholtz Equation|이름=Andrei D.|성=Polyanin|연도=2004}}

{{전거 통제}}

[[분류:파동]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:헤르만 폰 헬름홀츠]]