헨젤 환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''헨젤 환'''(Hensel環, {{llang|en|Henselian ring}})은 [[잉여류체]]에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 [[가환환]]이다.

== 정의 ==
[[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m,\kappa)</math>이 주어졌다고 하자. (여기서 <math>\mathfrak m</math>은 <math>R</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]이며, <math>\kappa = R/\mathfrak m</math>은 그 [[잉여류체]]이다.) 그렇다면, 몫 사상 <math>R \to \kappa</math>으로 유도되는, 다항식환 사이의 [[환 준동형]]
:<math>\phi \colon R[x] \to \kappa[x]</math>
이 존재한다.

임의의 [[일계수 다항식]] <math>p \in R[x]</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\phi(p) \in \kappa[x]</math> 역시 [[일계수 다항식]]이다. [[체 (수학)|체]] 계수의 [[다항식환]]은 [[유일 인수 분해 정역]]이므로, <math>\phi(p)</math>는 다음과 같이 [[일계수 다항식|일계수]] [[기약 다항식]]들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.
:<math>\phi(p) = \tilde q_1 \tilde q_2 \dotsm \tilde q_k</math>
:<math>\tilde q_1, \tilde q_2, \dotsc, \tilde q_k \in \kappa[x]</math>
(반면, 일반적 [[국소 가환환]] 위의 다항식환은 일반적으로 [[유일 인수 분해 정역]]이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 <math>R[x]</math>에서 유래하는지, 즉
:<math>\phi(q_i) = \tilde q_i \qquad(i\in\{1,\dotsc,k\})</math>
:<math>p = q_1 q_2 \dotsm q_k</math>
가 되는 <math>(q_i)_{i\in\{1,\dotsc,k\}}</math>가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 <math>\tilde q_i = (x-\tilde a_i)</math>인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, <math>q_i = (x-a_i)</math>라면, <math>\kappa</math> 계수에서 존재하는 근 <math>\tilde a_i</math>가 <math>R</math>에서도 존재한다는 것이 된다.

[[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m,\kappa)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[국소 가환환]]을 '''헨젤 국소환'''(Hensel局所環, {{llang|en|Henselian local ring}})이라고 한다.
* 임의의 [[일계수 다항식]] <math>p\in R[x]</math> 및 <math>\phi(p)(\tilde a) = 0</math>이며 <math>(\mathrm d\phi(p)/\mathrm dx)(\tilde a)\ne 0</math>인 <math>\tilde a \in\kappa</math>에 대하여, <math>p(a) = 0</math>이자 <math>\phi(a) = \tilde a</math>인 <math>a \in R</math>가 존재한다.
* 임의의 [[일계수 다항식]] <math>p\in R[x]</math> 및 <math>\phi(p)(\tilde a) = 0</math>이며 <math>(\mathrm d\phi(p)/\mathrm dx)(\tilde a)\ne 0</math>인 <math>\tilde a \in\kappa</math>에 대하여, <math>p(a) = 0</math>이자 <math>\phi(a) = \tilde a</math>인 <math>a \in R</math>가 유일하게 존재한다.
* 임의의 [[일계수 다항식]] <math>p\in R[x]</math> 및 <math>\tilde q\tilde r = \phi(p)</math>인 <math>\tilde q,\tilde r \in \kappa[x]</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\gcd_{\kappa[x]}\{\tilde q,\tilde r\} = 1</math>이라면, <math>\phi(q) = \tilde q</math>, <math>\phi(r) = \tilde r</math>, <math>p = qr</math>인 <math>q,r\in R[x]</math>가 존재한다.

=== 순 헨젤 국소환 ===
만약 헨젤 국소환 <math>(R,\mathfrak m,\kappa)</math>의 [[잉여류체]] <math>\kappa</math>가 스스로의 [[분해 가능 폐포]]라면 (<math>\kappa = \kappa^{\operatorname{sep}}</math>), <math>R</math>를 '''순 헨젤 국소환'''(純Hensel局所環, {{llang|en|strictly Henselian local ring}})이라고 한다.

=== 헨젤 환 ===
'''헨젤 환'''은 유한 개의 헨젤 국소환들의 [[직접곱]]과 동형인 [[가환환]]이다.

== 성질 ==
헨젤 국소환의 범주 <math>\operatorname{HensLocRing}</math>는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 <math>\operatorname{CLocRing}</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이루며, 이는 또한 [[반사 부분 범주]]를 이룬다. 즉, 포함 함자 <math>\operatorname{HensLocRing}\hookrightarrow\operatorname{CLocRing}</math>의 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>(-)^{\operatorname h}\colon\operatorname{CLocRing}\to\operatorname{HensLocRing}</math>
가 존재한다. 이를 국소 가환환의 '''헨젤화'''(Hensel化, {{llang|en|henselization}})라고 한다. 즉, [[국소 가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 [[보편 성질]]을 만족시키는 헨젤 국소환 <math>(R^{\operatorname h},\mathfrak m^{\operatorname h})</math> 및 [[국소환 준동형]]
:<math>\operatorname h\colon R\to R^{\operatorname h}</math>
이 항상 존재하며, 이를 <math>R</math>의 '''헨젤화'''라고 한다.
* 임의의 헨젤 국소환 <math>(R',\mathfrak m')</math> 및 [[국소환 준동형]] <math>f\colon R\to R'</math>에 대하여, <math>f=g\circ\operatorname h</math>인 [[국소환 준동형]] <math>g\colon R^{\operatorname h}\to R'</math>이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 [[반사 부분 범주]]를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 '''순 헨젤화'''({{llang|en|strict henselization}})를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 [[자기 동형]]을 가져 [[보편 성질]]을 만족시키지 않는다.

== 예 ==
다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.
* 임의의 [[체 (수학)|체]]
* 임의의 [[완비 국소환]]
** [[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>
** 체 <math>K</math>에 대하여, [[형식적 멱급수환]] <math>K[[x]]</math>
* 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 [[거듭제곱 급수]]들의 환

=== p진 정수환의 헨젤 보조 정리 ===
임의의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, [[p진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>은 [[국소 가환환]]이며, 그 [[극대 아이디얼]]은 <math>(p)</math>이며, [[잉여류체]]는 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math>이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 [[일계수 다항식]]이 <math>\mathbb F_p</math> 계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 [[기울기]]가 0이 아니라면, 이 근은 <math>\mathbb Z_p</math> 계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실
:<math>\mathbb Z_p = \varprojlim_{n\to\infty} \mathbb F_{p^n}</math>
이므로, 이는 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>\mathbb F_{p^n}</math> 계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 [[합동 산술]]의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 <math>q\in \mathbb Z[x]</math>이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 <math>\tilde a\in \mathbb Z</math>에 대하여
:<math>q(\tilde a) \equiv 0\pmod p</math>
:<math>\frac{\mathrm dq}{\mathrm dx}(\tilde a) \not\equiv 0\pmod p</math>
라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>q(a_n) \equiv 0 \pmod{p^k}</math>
인 <math>a_n \in \mathbb Z</math>이 존재한다.

<math>p</math>진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 [[뉴턴 방법]]에 해당한다. 구체적으로, 만약
:<math>q(a_k) \equiv 0 \pmod{p^k}</math>
:<math>(\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k) \not\equiv 0\pmod{p^k}</math>
인 <math>a_k\in\mathbb Z</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면
:<math>a_{k+1} = a_k - \frac{q(a_k)}{(\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k)}</math>
로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 <math>((\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k))^{-1}</math>는 <math>p</math>진 정수이며, 따라서 <math>a_{k+1}</math>은 <math>p</math>진 정수로서 존재한다. 그렇다면 [[매클로린 급수]]에 따라서
:<math>q(a_k) \equiv a_k + \frac{\mathrm dq}{\mathrm dx}(a_k)\pmod{p^{k+1}}</math>
이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 <math>p</math>진 정수 <math>a_\infty</math>로 수렴하는 수열 <math>a_1,a_2,\dotsc</math>을 얻는다.

== 응용 ==
[[대수기하학]]에서, [[국소환]]이 [[자리스키 위상]]에서의 줄기환인 것처럼, [[니스네비치 위상]]에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, [[에탈 위상]]에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

== 역사 ==
[[쿠르트 헨젤]]이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) [[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>가 헨젤 국소환임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Kurt|성=Hensel|저자링크=쿠르트 헨젤
|제목=Neue Grundlagen der Arithmetik|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=127|날짜=1904|쪽=51–84|issn=0075-4102|doi=10.1515/crll.1904.127.51|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00216552X|언어=de}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Kurt|성=Hensel|저자링크=쿠르트 헨젤|제목=Theorie der algebraischen Zahlen. Erster Band|출판사=Druck und Verlag von B. G. Teubner|날짜=1908|zbl=39.0269.01|url=https://archive.org/details/theoriederalgeb01hensgoog|언어=de}}</ref> 1951년에 [[아즈마야 고로]]가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Azumaya | first1=Gorô | 저자링크=아즈마야 고로 | title=On maximally central algebras | year=1951 | journal=Nagoya Mathematical Journal | issn=0027-7630 | volume=2 | pages=119–150 | mr=0040287|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118764746|언어=en}}</ref>

[[나가타 마사요시]]가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=나가타 마사요시 | title=On the theory of Henselian rings | url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799392 |mr=0051821 | year=1953 | journal=Nagoya Mathematical Journal | issn=0027-7630 | volume=5 | pages=45–57|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용|last=Kurke|first=H.|last2= Pfister|first2= G.|last3= Roczen|first3= M.|title=Henselsche Ringe und algebraische Geometrie|series=Mathematische Monographien|volume=2|publisher= Volkseigener Betrieb Deutscher Verlag der Wissenschaften|year=1975|mr=0491694|언어=de}}
* {{서적 인용|last= Raynaud|first= Michel|title= Anneaux locaux henséliens|series= Lecture Notes in Mathematics|volume=169 |publisher=Springer-Verlag|year= 1970|doi=10.1007/BFb0069571|isbn=978-3-540-05283-8|mr= 0277519|issn=0075-8434|언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hensel ring}}
* {{eom|title=Hensel lemma}}
* {{매스월드|id=HenselsLemma|title=Hensel’s lemma}}
* {{nlab|id=Henselian ring}}
* {{웹 인용|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/04GE|웹사이트=The Stacks Project | 제목= §10.148 Henselian local rings | 언어=en}}

[[분류:가환대수학]]