헤세 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''헤세 행렬'''(Hesse行列, {{llang|en|Hessian matrix}})은 어떤 함수의 [[이계도함수]]를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 [[루트비히 오토 헤세]]의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

== 정의 ==
실함수 <math>f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n})</math>이 주어졌을 때, '''헤세 행렬'''은 다음과 같이 주어진다.
:<math>H_f = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^2} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^2} & \cdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \cdots & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^2}
\end{bmatrix}</math>
헤세 행렬은, 함수의 기울기 벡터 <math>\nabla f</math>에 대한 [[야코비 행렬]]로도 설명이 가능하다.

함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 [[대칭행렬]]이다.

== 테일러 급수와 헤세 행렬 ==
{{참고|테일러 급수}}
함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러 급수]]는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.
:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f:= f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) \approx J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^TH_f \left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할 때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점 (수학)|임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f \approx \frac{1}{2}\mathbf{h}^TH_f\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.

==이계도함수 판정==
함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]일 때 헤세 행렬은 대칭행렬이므로 [[스펙트럼 정리]]에 따라 헤세 행렬을 다음과 같이 직교대각화할 수 있다.
:<math>Q(\mathbf{h}) = \mathbf{h^{T}}H_f\mathbf{h=h^{T}Q\Lambda Q^{T}h=(Q^{T}h)^{T}\Lambda Q^{T}h}</math>
<math>\mathbf{u=Q^{T}h}</math>로 두면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>Q(\mathbf{u})=\lambda_{1}u_{1}^{2}+\lambda_{2}u_{2}^{2}+...+\lambda_{n}u_{n}^{2} </math>
헤세 행렬의 고윳값의 부호에 따라 이차형식의 정부호성을 판별한다.
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수일 경우, 이차형식은 양의 정부호이고, 임계점은 극솟값이다.
* 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수일 경우, 이차형식은 음의 정부호이고, 임계점은 극댓값이다.
* 헤세 행렬의 고윳값에 양수와 음수가 섞여 있는 경우, 이차형식은 부정부호(indefinite)이고, 임계점은 [[안장점]]이 된다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Hessian|title=Hessian}}

== 같이 보기 ==
* [[야코비 행렬]]

[[분류:미적분학]]
[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:행렬]]
[[분류:모스 이론]]
[[분류:특이점 이론]]