헤그너 수 문서 원본 보기

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'''헤그너 수'''({{llang|en|Heegner number}})는 [[허수]] [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-n}) </math>의 [[대수적 정수환]]이 [[유일 인수 분해 정역]]이 되는 [[자연수]] <math>n</math>이다.

헤그너 수는 총 아홉 개가 있으며, 정확히 다음과 같다. {{OEIS|A003173}}
: [[1]], [[2]], [[3]], [[7]], [[11]], [[19]], [[43]], [[67]], [[163]]

이 사실은 [[카를 프리드리히 가우스]]가 처음으로 추측하였으며, [[1952년]]에 [[쿠르트 헤그너]]({{llang|de|Kurt Heegner}})에 의해 처음으로 증명되었다. 그러나 그의 증명은 약간의 결함이 있어서 인정을 받지 못하였다. 그가 죽은 후 [[해럴드 스타크]]({{llang|en|Harold Stark}})가 [[1967년]]에 좀 더 완전한 증명을 내 놓고, [[앨런 베이커]]가 비슷한 시기에 독립적으로 유사한 증명을 내 놓은 후, 헤그너의 증명이 재발견되면서 이 수들에 헤그너를 기리는 이름이 붙여졌다.

== 오일러의 소수 생성 다항식 ==
[[레온하르트 오일러]]는 [[1772년]]에 다음 수식이 <math>n = 0, \cdots, 39</math>에 대해 [[소수 (수론)|소수]]가 됨을 지적하였다.
: <math>n^2 + n + 41</math>

이러한 다항식은 헤그너 수 <math>163 = 4 \cdot 41 - 1</math>에 연관되어 있다. 실제로 라비노비츠<ref>Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418-421, 1913.</ref>는 <math>n^2 + n + p</math> 꼴의 다항식이 그 판별식의 절댓값 <math>4p - 1</math>이 헤그너 수일 때만 이러한 성질을 가짐을 증명하였다.

따라서 <math>p = 2, 3, 5, 11, 17, 41</math>(각각 헤그너 수 7, 11, 19, 43, 67, 163에 대응)에 대해, <math>n^2 + n + p</math> 꼴의 다항식은 <math>n = 0, \cdots, p-2</math>일 때 소수가 된다.

== 라마누잔 수 ==
'''라마누잔 수'''([[라마누잔 상수]])는 [[초월수]] <math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>로, [[정수]]에 매우 가까운 값을 가진다:
: <math>e^{\pi \sqrt{163}} = 262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\cdots \approx 640,320^3+744</math>

이 ‘우연’은 [[모듈러 형식]] 이론으로부터 설명할 수 있다. 구체적으로, [[j-불변량]] <math>j({{\sqrt{-163}+1}\over{2}})</math>의 [[q-전개]]를 근사한 값으로부터 이러한 숫자를 생성해 낼 수 있다. 이 근사는 일차 오류항이 <math>-196,884 / e^{\pi \sqrt{163}} < 10^{-12}</math>로 매우 정확한 근사이다.

=== 다른 헤그너 수 ===
다른 헤그너 수에 대해서도 [[j-불변량]]을 사용해서 정수에 가까운 이러한 값을 생성해 내는 것이 가능하며, 그 목록은 다음과 같다.
: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}}  &\approx 96^3+744-.22\\
e^{\pi \sqrt{43}}  &\approx 960^3+744-.00022\\
e^{\pi \sqrt{67}}  &\approx 5,280^3+744-.0000013
\end{align}</math>

<math>d \le 11</math>일 때 일차 오류항 <math>-196,884 / e^{\pi \sqrt{d}}</math>은 1보다 크기 때문에 이러한 성질을 잃어버린다. (심지어 <math>d = 19</math>일 때도 정수에 크게 가까운 것은 아니다.)

== 같이 보기 ==
* [[솔드너 상수]]
* [[아이디얼 유군|유수]](Class number)
* [[유수 공식]]

== 참고 문헌 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Heegner number|id=HeegnerNumber}}

[[분류:대수적 수론]]