행렬 지수 함수 문서 원본 보기

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'''행렬 지수 함수'''(行列指數函數, {{lang|en|matrix exponential}})란 [[정사각행렬]]에 대한 일종의 [[지수 함수]]다.

== 정의 ==
'''행렬 지수 함수''' <math>\exp\colon M_{n\times n}\to M_{n\times n}</math>은 [[정사각행렬]]을 다른 정사각행렬로 보내는 행렬 함수다. 다음과 같은 [[급수 (수학)|급수]]로 정의한다.
:<math>\exp(X)=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}X^k</math>.
이는 [[복소수]] 지수 함수의 [[테일러 급수]] <math>\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}z^k</math> 와 같은 꼴이다. 위의 급수는 항상 [[수렴]]하므로, 행렬 지수는 항상 존재한다.

== 성질 ==
행렬 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 여기서 대문자는 임의의 정사각행렬, 소문자는 임의의 [[복소수]]를 의미한다.
* <math>\exp(0)=I_{n\times n}</math> ([[단위행렬]])
* 만약 <math>XY-YX=0</math>이면, <math>\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)=\exp(Y)\exp(X)</math>.
** 위 성질의 특수한 경우로, <math>\exp(aX)\exp(bX)=\exp((a+b)X)</math>.
** 단, 일반적으로 가환하지 않는 두 행렬의 경우 <math>\exp(X)\exp(Y)\ne\exp(X+Y)\ne\exp(Y)\exp(X)</math>.
* 만약 <math>Y</math>가 [[가역행렬]]이라면, <math>Y\exp(X)Y^{-1}=\exp(YXY^{-1})</math>.
* <math>\det\exp X=\exp\operatorname{tr}X</math>.
** 따라서, <math>\det\exp X>0</math>이고, 행렬 지수는 항상 [[가역행렬]]이다.

행렬 지수 함수를 [[미분방정식]]으로도 나타낼 수 있다. 즉, 다음 [[초기조건문제]]
:<math>\mathbf x'(t)=A\mathbf x(t)</math>
:<math>\mathbf x(0)=\mathbf x_0</math>
의 해는
:<math>\mathbf x(t)=\exp(At)\mathbf x_0</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[지수 함수]]
* [[골든-톰슨 부등식]]

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20070609200917/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/MatrixExponentialMod.html Module for the Matrix Exponential]

[[분류:행렬론]]
[[분류:리 군]]
[[분류:거듭제곱]]