행렬 이론 문서 원본 보기

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{{끈 이론}}
[[이론물리학]]에서 '''행렬 이론'''(行列理論, {{llang|en|M(atrix) theory}})은 매우 큰 [[행렬]]들을 다루는 [[양자역학]] 모형이다. 이는 [[축소화]]시키지 않은 11차원 [[민코프스키 공간]]에서의 [[M이론]]의 비섭동적인 정의다.

== 역사와 어원 ==
1996년에 토머스 뱅크스({{llang|en|Thomas Banks}})와 빌리 피스흘러르({{llang|nl|Willy Fischler}}), 스티븐 하트 솅커({{llang|en|Stephen Hart Shenker}})와 [[레너드 서스킨드]]가 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=T.|성=Banks|공저자=W. Fischler, S.H. Shenker, [[레너드 서스킨드|L. Susskind]]|제목=M Theory As A Matrix Model: A Conjecture|저널=Physical Review D|권=55|쪽=5112–5128|날짜=1997-04|arxiv=hep-th/9610043|bibcode=1997PhRvD..55.5112B|doi=10.1103/PhysRevD.55.5112|언어=en}}</ref> 영어명인 {{llang|en|M(atrix)}}는 행렬을 뜻하는 {{llang|en|matrix|메이트릭스}}의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다. 발견자들의 이름을 따 '''BFSS 행렬 이론'''({{llang|en|BFSS matrix theory}})이라고 하기도 한다.

민코프스키 공간에서의 M이론을 나타내는 BFSS 행렬 이론 뒤에, IIB종 [[초끈 이론]]을 나타내는 '''IKKT 행렬 이론'''<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9908038|제목=IKKT관련}}</ref>이나, [[평면파]] 배경에서의 M이론을 나타내는 '''BMN 행렬 이론'''<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0405107|제목=BMN관련}}</ref> 등이 발견되었다.

== 유도 ==
IIA종 [[초끈 이론]]에서, 끈 결합 상수 <math>g_\text{s}</math>가 매우 작은 경우를 생각하자. 이 경우, 11번째 차원의 반지름이 <math>R=g_\text{s}\sqrt{\alpha'}</math>이 매우 크게 되므로, IIA종 초끈 이론은 11차원에 존재하는 [[M이론]]으로 다룰 수 있다.

이제, 11번째 차원으로 [[로런츠 변환]]을 취하자. 11번째 차원이 [[축소화]]되어 있으므로, 운동량의 11번째 차원의 크기는 <math>1/R</math>의 단위로 [[양자화 (물리학)|양자화]]된다. 즉,
:<math>p_{11}=N/R</math> (<math>N\in\mathbb Z</math>)
이다. 이제, 다음과 같은 극한을 취하자.
:<math>R\to\infty</math>
:<math>N/R\to\infty</math>
이 극한에서 유한한 에너지를 가진 상태들은 ''N''개의 [[D-막|D0-막]]과 여기에 붙은 바닥 상태 열린 [[끈 (물리학)|끈]] 뿐이다. 이는 단순히 로런츠 변환을 한 것이므로, 11차원 M이론을 ''N''개의 겹친 D0-막의 [[세계선]] 위에 존재하는 [[양자역학]]적 모형으로 나타낼 수 있다. 이를 '''행렬 이론'''이라고 한다.

== 정의 ==
[[빛의 속력]]보다 매우 느린, ''N''개의 겹친 D0-막의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]은 다음과 같다.
:<math>H=\operatorname{tr}\left(
\frac{g_\text{s}\ell_\text{s}}2\sum_{i=1}^9P_iP_i-\sum_{i,j=1}^9\frac1{16\pi^2g_\text{s}\ell_\text{s}^5}[X^i,X^j]^2-\sum_{i=1}^9\frac1{4\pi\ell_\text{s}^2}\lambda\Gamma^0\Gamma^i[X^i,\lambda]\right)</math>
여기서 <math>\ell_\text{s}=\sqrt{\alpha'}</math>는 끈 길이이고, <math>g_\text{s}=\exp(\langle\Phi\rangle)</math>는 닫힌 끈 [[결합 상수]]다. D0-막의 [[정지 질량]] 항 <math>N/(g_\text{s}\ell_\text{s})</math>은 생략하였다.

여기서 <math>X^i</math>와 <math>P_i</math>, <math>\lambda^i</math>는 각각 <math>N\times N</math> [[에르미트 행렬]]이며, 다음과 같은 정준 교환 관계를 가진다.
:<math>[(X^i)^a{}_b,(P_j)^c{}_d]=i\delta^i_j\delta^a_c\delta^b_d</math>
<math>\lambda</math>는 <math>N\times N</math> [[에르미트 행렬]]이며, 행렬의 각 성분은 마요라나-바일 [[스피너]]이다.
이를 [[M이론]] 변수들
:<math>R=g_\text{s}\ell_\text{s}</math>
:<math>\ell_\text{p}=g_\text{s}^{1/3}\ell_\text{s}</math>
로 쓰면 다음과 같다.
:<math>H=R\operatorname{tr}\left(
\frac12\sum_{i=1}^9P_iP_i-\sum_{i,j=1}^9\frac1{16\pi^2\ell_\text{p}^6}[X^i,X^j]^2-\sum_{i=1}^9\frac 1{4\pi\ell_\text{p}^2}\lambda\Gamma^0\Gamma^i[X^i,\lambda]\right)</math>
이를 해밀토니언으로 가지는 양자역학계를 '''행렬 이론'''이라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9710231|이름=Tom|성=Banks|제목=Matrix theory|doi=10.1016/S0920-5632(98)00130-3|bibcode=1998NuPhS..67..180B|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9706168|이름=Tom|성=Banks|제목=The state of Matrix theory|doi=10.1016/S0920-5632(97)00676-2|bibcode=1998NuPhS..62..341B|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9911068|이름=Tom|성=Banks|제목=TASI lectures on Matrix theory|bibcode=1999hep.th...11068B|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9712072|이름=Daniela|성=Bigatti|공저자=[[레너드 서스킨드|Leonard Susskind]]|제목=
Review of Matrix theory|bibcode=1997hep.th...12072B|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9710136|이름=Adel|성=Bilal|제목=M(atrix) theory: a pedagogical introduction|bibcode=1999ForPh..47....5B|doi=10.1002/(SICI)1521-3978(199901)47:1/3<5::AID-PROP5>3.0.CO;2-B|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9903165|이름=Joseph|성=Polchinski|저자링크=조지프 폴친스키|제목=M-theory and the light cone|bibcode=1999PThPS.134..158P|doi=10.1143/PTPS.134.158|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0002016|이름=Washington|성=Taylor|제목=The M(atrix) model of M-theory|bibcode=2000hep.th....2016T|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0101126|이름=Washington|성=Taylor|제목=M(atrix) Theory: Matrix Quantum Mechanics as a Fundamental Theory|doi=10.1103/RevModPhys.73.419|bibcode=2001RvMP...73..419T|언어=en}}

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