행렬식 다양체 문서 원본 보기

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[[대수기하학|대수 기하학]]에서 '''행렬식 다양체'''({{llang|en|determinantal variety}})는 [[계수 (선형대수학)|계수]]에 주어진 상한이 있는 행렬들의 공간이다. 이 다양체의 중요성은 [[사영 공간]] 두 개의 곱의 [[세그레 매장]]과 같은 대수 기하학의 많은 예가 이러한 형식이라는 사실에서 비롯된다.

== 정의 ==
주어진 <math>m,n</math>과  <math>r<\min\{m,n\}</math>에 대해 '''행렬식 다양체'''  <math>Y_r</math>은 체 <math>\mathbb k</math>의 원소를 성분으로 갖는 계수 <math>r</math>이하의 모든 <math>m\times n</math> 행렬들의 집합이다. 이것은 행렬이 계수 <math>r</math> 이하를 갖는 조건으로서 <math>(r+1)\times(r+1)</math>[[소행렬식|부분 행렬식]]들의 근들로 자연스럽게 주어지는 [[대수다양체]]이다. 성분들이 [[대수적 독립 집합|대수적 독립인]] 변수 <math>x_{i,j}</math>들인 <math>m\times n</math> 행렬을 고려하면, 이 행렬의 부분행렬식들은 <math>r+1</math>차 다항식이다. 이러한 다항식들에 의해 생성된 <math>\mathbb k[x_{i,j}]</math>의 이데알은 '''행렬식 이데알'''이다. 부분행렬식을 정의하는 방정식이 동차이기 때문에 <math>Y_r</math>를 <math>mn</math> 차원 [[아핀 공간]]에서 아핀 다양체, 또는 <math>mn-1</math> 차원 [[사영 공간]]에서 사영 다양체로 볼 수 있다.

== 성질 ==
행렬식 다양체를 정의하는 [[반소 아이디얼|반소 이데알]]은 <math>(r+1)\times(r+1)</math> 부분행렬식들로 생성된다.(Bruns-Vetter, Theorem 2.10).

''<math>Y_r</math>''를 아핀 다양체로 고려한다고 가정하면, 그 차원은 <math>r(m+n-r)</math>이다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 다음과 같다. <math>\mathbf{A}^{mn}</math>위에 곱 공간 <math>\mathbf{A}^{mn} \times \mathbf{Gr}(r,m)</math>을 형성한다. 여기서 <math>\mathbf{Gr}(r,m)</math>는 ''<math>m</math>'' 차원 선형 공간에서 <math>r</math>차원 평면들의 [[그라스만 다양체]]이고 <math>Y_r</math>의 비특이화인 부분 공간 <math>Z_r = \{ (A, W) \mid A(k^n) \subseteq W \}</math>을 고려한다. (계수가 정확히 <math>r</math>인 행렬들의 열린 집합에 대해 이 사상은 동형사상이다.) <math>Z_r</math>는 <math>\mathrm{Hom}(k^n, \mathcal{R})</math>과 동형인 <math>\mathbf{Gr}(r,m)</math>위의 [[벡터 다발|선형 다발]]이다. 여기서 <math>\mathcal{R}</math>은 그라스만 다양체에 대한 tautological 다발이다. 그들은 쌍유리적 동치이기 때문에 <math>\dim Y_r = \dim Z_r</math>이고, <math>\mathrm{Hom}(k^n, \mathcal{R})</math>의 올의 차원이 <math>nr</math>이기 때문에<math>\dim Z_r = \dim \mathbf{Gr}(r,m) + nr = r(m-r) + nr</math>이다..

위는 계수 <math>r</math> 이하인 행렬이 <math>Y_r</math>의 [[특이점 (대수기하학)|특이 영점]]들을 포함함을 보여준다. 사실 둘은 같다. 이 사실은 비특이성에 대한 [[Jacobian criterion|야코비 판별]]과 함께 부분행렬식에 의해 반소 이데알이 주어짐을 통해 확인할 수 있다.

다양체 <math>Y_r</math>은 자연스럽게 [[일반선형군|일반 선형 군]]의 곱 <math>G = \mathbf{GL}(m) \times \mathbf{GL}(n)</math>의 군 작용을 가진다. [[체 (수학)|체]]의 [[환의 표수|표수]]가 0일 때 <math>Y_r</math>의 [[Syzygy (수학)|syzygies]]를 결정하는 문제를 알랭라스코가 <math>G</math>의 자연 군 작용을 사용하여 해결했다.

== 관련 주제 ==
대수적 다양체에서 두 선형 다발 사이의 선형 사상 공간을 고려하여 결정적 다양체의 개념을 "전역화"할 수 있다. 그러면 행렬식 다양체는 축퇴 영점의 일반적인 연구에 속한다. 이들 축퇴 영점의 코호몰로지류에 대한 표현은 Thom-Porteous 공식으로 주어진다(Fulton-Pragacz).

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Determinantal rings|성=Bruns|이름=Winfried|성2=Vetter|이름2=Udo|연도=1988|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1327|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/BFb0080378|isbn=978-3-540-39274-3}}
* {{서적 인용|제목=Schubert varieties and degeneracy loci|성=Fulton|이름=William|성2=Pragacz|이름2=Piotr|연도=1998|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1689|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/BFb0096380|isbn=978-3-540-69804-3}}
* {{저널 인용|제목=Syzygies des variétés déterminantales|저널=[[Advances in Mathematics]]|성=Lascoux|이름=Alain|연도=1978|권=30|호=3|쪽=202–237|doi=10.1016/0001-8708(78)90037-3}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=NW8nx_DwRDsC|제목=Combinatorial Commutative Algebra|성=Miller|이름=Ezra|성2=Sturmfels|이름2=Bernd|날짜=2005|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=227|출판사=Springer|isbn=978-0-387-23707-7}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=t_jdqfMMtnYC|제목=Cohomology of Vector Bundles and Syzygies|성=Weyman|이름=Jerzy|날짜=2003|총서=Cambridge Tracts in Mathematics|권=149|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-62197-7}}

[[분류:대수다양체]]
[[분류:대수기하학]]