해석적 집합 문서 원본 보기

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[[집합론]]과 [[일반위상수학]]에서 '''해석적 집합'''(解析的集合, {{llang|en|analytic set}})은 [[폴란드 공간]]의 연속적 [[상 (수학)|상]]인 [[폴란드 공간]] 부분 공간이다.

== 정의 ==
[[폴란드 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 '''해석적 집합'''이라고 한다.
* <math>f(Y)=A</math>인 [[폴란드 공간]] <math>Y</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon Y\to X</math>가 존재한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|85, Definition 14.1}}
* <math>f(S)=A</math>인 [[폴란드 공간]] <math>Y</math> 및 [[보렐 집합]] <math>S\subseteq Y</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon Y\to X</math>가 존재한다.
* <math>A</math>는 [[공집합]]이거나, 아니면 <math>f(\mathbb N^{\aleph_0})=A</math>인 연속 함수 <math>f\colon\mathbb N^{\aleph_0}\to X</math>가 존재한다.<ref name="Srivastava"/>{{rp|128, Proposition 4.1.1(iii)}}
* <math>\operatorname{proj}_1(S)=A</math>인 [[보렐 집합]] <math>S\subseteq X\times X</math>가 존재한다.<ref name="Srivastava"/>{{rp|128, §4.1}}
* <math>\operatorname{proj}_X(S)=A</math>인 [[폴란드 공간]] <math>Y</math> 및 [[보렐 집합]] <math>S\subseteq X\times Y</math>가 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Exercise 14.3(ii)}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|128, Proposition 4.1.1(ii)}}
* <math>\operatorname{proj}_X(S)=A</math>인 [[닫힌집합]] <math>S\subseteq X\times\mathbb N^{\aleph_0}</math>가 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Exercise 14.3(iii)}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|128, Proposition 4.1.1(iv)}}
* <math>\operatorname{proj}_X(S)=A</math>인 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]] <math>S\subseteq X\times\{0,1\}^{\aleph_0}</math>가 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Exercise 14.3(iv)}}
<math>X</math>의 해석적 집합들의 족은 <math>\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>로 표기한다. (여기서 첨자들은 [[사영 집합|사영 위계]]의 일부이기 때문이다.)

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
* [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 [[합집합]]은 해석적 집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Proposition 14.4(i)}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|129, Proposition 4.1.2(i)}}
* [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 [[교집합]]은 해석적 집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Proposition 14.4(i)}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|129, Proposition 4.1.2(i)}}
* 두 폴란드 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[보렐 시그마 대수|보렐]] [[가측 함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 해석적 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 그 [[상 (수학)|상]] <math>f(A)</math> 역시 해석적 집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Proposition 14.4(ii)}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|129, Exercise 4.1.3}}
* 두 폴란드 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[보렐 시그마 대수|보렐]] [[가측 함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 해석적 집합 <math>B\subseteq Y</math>에 대하여, 그 [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(B)</math> 역시 해석적 집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|86, Proposition 14.4(ii)}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|129, Proposition 4.1.2(i)}}

폴란드 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subset X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>는 [[보렐 집합]]이다.
* <math>A</math>와 <math>X\setminus A</math> 둘 다 해석적 집합이다.

=== 분리 정리 ===
'''루진-노비코프 분리 정리'''(Лузин-Новиков分離定理, {{llang|en|Lusin–Novikoff separation theorem}})에 따르면, 임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>, <math>|I|\le\aleph_0</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing</math>이라면, <math>\forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i</math>이자 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing</math>인 [[보렐 집합]]들의 집합족 <math>\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>이 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|219, Theorem 28.5}}<ref name="Srivastava">{{서적 인용 | last=Srivastava| first=Shashi Mohan | title=A course on Borel sets | 날짜=1991 | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-3-642-85475-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-3-642-85473-6|권=180|zbl=0903.28001|mr=1619545|언어=en}}</ref>{{rp|155, Theorem 4.6.1}}

'''쿠라토프스키 분리 정리'''에 따르면, [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>, <math>|I|\le\aleph_0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[집합족]] <math>\{C_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Pi^1_1(X)</math>가 존재한다.<ref name="Srivastava"/>{{rp|176, Corollary 4.11.3}}
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>\textstyle A_i\setminus\bigcup_{j\ne i}A_j\subseteq C_i</math>
* 임의의 <math>i,j\in I</math>에 대하여, <math>i\ne j</math>라면 <math>C_i\cap C_j=\varnothing</math>

=== 실수의 해석적 집합 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>의 해석적 집합은 [[보편 가측 집합]]이며, [[준열린집합]]이며, [[완전 집합 성질]]을 갖는다.

== 역사 ==
[[니콜라이 루진]]<ref>{{저널 인용|first= Nicolas |last=Lusin|저자링크=니콜라이 루진|title=Sur la classification de M. Baire|journal= Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences |volume= 164  |날짜=1917|pages= 91–94|jfm=46.0390.03|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31178/f91.item|언어=fr}}</ref>과 [[미하일 수슬린]]<ref>{{저널 인용|last=Souslin|first= Michel|저자링크=미하일 수슬린|title=Sur une définition des ensembles mesurables ''B'' sans nombres transfinis |journal=Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences |volume= 164 |날짜=1917|pages=88–91|jfm= 46.0296.01|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31178/f88.item | 언어=fr}}</ref> 이 1917년에 정의하였다.<ref>{{저널 인용|journal = The Mathematical Intelligencer | title = Who discovered analytic sets? | 날짜 = 2001-09 | volume = 23 | issue = 4 | last = Lorentz | first = George G. | pages = 31 | doi = 10.1007/BF03024600 | issn = 0343-6993 |url=http://math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/lorentz_a-sets.pdf | 언어=en}}</ref>

루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 [[니콜라이 루진]]이 1927년에 증명하였고,<ref>{{저널 인용
 | last = Lusin
 | first = Nicolas
 | authorlink = 니콜라이 루진
 | title = Sur les ensembles analytiques
 | journal = Fundamenta Mathematicae
 | volume = 10
 | pages = 1–95
 | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm10/fm1011.pdf
 | year = 1927
 | 언어 = fr
 | jfm = 53.0171.05
}}</ref> 이를 1931년에 [[표트르 세르게예비치 노비코프]]가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur les fonctions implicites mesurables ''B''|이름=Pierre|성=Novikoff|저자링크=표트르 세르게예비치 노비코프|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm17/fm1713.pdf|issn=0016-2736|저널=Fundamenta Mathematicae|권=17|호=1|쪽=8–25|zbl=0003.10802|jfm= 57.0291.02|날짜=1931|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Analytic set|first=A.G.|last= El’kin}}
* {{eom|title=Luzin separability principles|first=B.A.|last= Efimov}}
* {{eom|title=A-set}}
* {{eom|title=A-operation}}

== 같이 보기 ==
* [[보렐 집합]]
* [[사영 집합]]

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]