항등 정리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''항등 정리'''(恒等定理, {{llang|en|identity theorem}})는 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] 위의 [[정칙 함수]]가 정의역에서 [[극한점]]을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 두 [[정칙 함수]] <math>f,g\colon D\to\mathbb C</math>가 주어졌고, 집합
:<math>\{z\in D\colon f(z)=g(z)\}</math>
가 <math>D</math>에서 [[극한점]]을 갖는다고 하자. '''항등 정리'''에 따르면, 임의의 <math>z\in D</math>에 대하여 <math>f(z)=g(z)</math>이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2016-06-27
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|209}}

특히, 연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 [[정칙 함수]] <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의 [[영점]]의 집합은 <math>D</math> 전체이거나, <math>D</math>에서 [[극한점]]을 갖지 않는다.<ref name="Rudin" />{{rp|208, Theorem 10.18}} 후자의 경우, <math>f</math>의 모든 영점은 영점 집합의 [[고립점]]이며, 특히 영점 집합은 [[가산 집합]]이다.

== 증명 ==
연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의 영점의 집합이 <math>D</math>에 속하는 극한점 <math>z_0\in D</math>를 갖는다고 하자. 또한,
:<math>S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots\}</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>S=D</math>임을 보이는 것으로 족하다.

우선 <math>S\ne\varnothing</math>임을 보이자. <math>z_0\in S</math>를 보이는 것으로 족하다. [[귀류법]]을 사용하여 <math>z_0\not\in S</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>m=\min\{n\ge 0\colon f^{(n)}(z_0)\ne 0\}</math>
이 정의된다. <math>f</math>는 연속 함수이므로, <math>f(z_0)=0</math>이며, 따라서 <math>m\ge 1</math>이다. <math>\operatorname B(z_0,r)\subseteq D</math>인 <math>r>0</math>을 고정하자. 그렇다면, 임의의 <math>z\in\operatorname B(z_0,r)</math>에 대하여,
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n=\sum_{n=m}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>
이다. 즉, 정칙 함수 <math>g\colon\operatorname B(z_0,r)\to\mathbb C</math>를
:<math>g(z)=\sum_{n=m}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n-m}\qquad(z\in\operatorname B(z_0,r))</math>
와 같이 정의할 경우,
:<math>g(z_0)=\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}\ne 0</math>
이고, 임의의 <math>z\in\operatorname B(z_0,r)</math>에 대하여
:<math>f(z)=(z-z_0)^mg(z)</math>
이다. 따라서 <math>r</math>을 충분히 작게 다시 정의할 경우 <math>g</math>가 <math>\operatorname B(z_0,r)</math>에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 <math>f</math>는 <math>\operatorname B(z_0,r)\setminus\{z_0\}</math>에서 영점을 갖지 않는다. 이는 <math>z_0</math>이 <math>E</math>의 극한점인 데 모순이다.

이제 <math>S</math>가 [[열린집합]]임을 보이자. 임의의 <math>z_1\in S</math>를 고정하고, <math>\operatorname B(z_1,r)\subseteq D</math>인 <math>r>0</math>을 고정하자. 그렇다면, <math>f</math>는 <math>z_1</math>에서 정칙 함수이므로, 임의의 <math>z\in\operatorname B(z_1,r)</math>에 대하여
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_1)}{n!}(z-z_1)^n=0</math>
이다. 즉, <math>z\in S</math>이며, 따라서 <math>z_1</math>은 <math>S</math>의 내부점이다.

마지막으로 <math>S</math>가 <math>D</math>의 [[닫힌집합]]이라는 사실을 보이자. 임의의 <math>z_2\in S'\cap D</math>를 고정하자. (여기서 <math>(-)'</math>는 <math>\mathbb C</math>에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 <math>n\ge 0</math>에 대하여, <math>f^{(n)}</math>이 연속 함수이므로 <math>f^{(n)}(z_2)=0</math>이다. 즉, <math>z_2\in S</math>이다.

즉, <math>S</math>는 <math>D</math>의 열린닫힌집합이며, <math>S\ne\varnothing</math>이다. <math>D</math>는 [[연결 집합]]이므로, <math>S=D</math>이다. 특히, 임의의 <math>z\in D</math>에 대하여, <math>f(z)=0</math>이다.

== 예 ==
항등 정리는 정의역이 [[연결 집합]]이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 <math>U\subseteq\mathbb C</math>가 두 연결 성분 <math>D,U\setminus D</math>를 가질 때, 함수
:<math>f\colon U\to\mathbb C</math>
:<math>f(z)=\begin{cases}
0&z\in D\\
1&z\in U\setminus D
\end{cases}\qquad(z\in U)</math>
는 정칙 함수이며, 영점 집합 <math>D</math>는 정의역 <math>U</math> 전체가 아니지만, <math>D</math>는 <math>U</math>에서 <math>D</math>의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.<ref name="Rudin" />{{rp|210}}

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수
:<math>f\colon\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C</math>
:<math>f(z)=\sin\frac 1z\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{0\})</math>
의 영점 집합
:<math>\left\{\frac 1\pi,\frac 1{2\pi},\frac 1{3\pi},\dots\right\}</math>
은 <math>0\not\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>을 극한점으로 한다.<ref name="tanxj" />{{rp|97, §3.4, 예3}}

항등 정리는 [[실수]] [[매끄러운 함수]]에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수
:<math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f(x)=\begin{cases}
\exp\left(-1/x^2\right)\sin(1/x)&x\ne 0\\
0&x=0
\end{cases}\qquad(x\in\mathbb R)</math>
는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합
:<math>\left\{0,\frac 1\pi,\frac 1{2\pi},\frac 1{3\pi},\dots\right\}</math>
의 극한점이다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|96, §3.4, 예2}}

== 같이 보기 ==
* [[반사 원리]]
* [[해석적 연속]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=강승필|제목=해설 복소함수론|출판사=경문사|날짜=2007|언어=ko}}

[[분류:복소해석학 정리]]