합곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''합곱'''(合곱, {{llang|en|cup product|컵 프로덕트}})은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, [[코호몰로지]]는 [[호몰로지]]와 달리 [[등급환]]을 이룬다.

== 정의 ==
=== 쌍대사슬의 합곱 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[가환환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 '''합곱'''은 다음과 같은  <math>R</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\smile\colon C^p(X;R)\times C^q(X;R)\to C^{p+q}(X;R)</math>

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 <math>p</math>차 특이 쌍대사슬 <math>c\in C^p(X;R)</math> 및 <math>q</math>차 특이 쌍대사슬 <math>d\in C^q(X;R)</math> 및 <math>(p+q)</math>차 [[특이 단체]] <math>\sigma\colon\triangle^{p+q}\to X</math>에 대하여,
:<math>c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
여기서
:<math>\iota_S\colon\triangle^{|S|-1}\hookrightarrow\triangle^{p+q}</math>
(<math>S \subset \{0,1,...,p+q \} </math>)는 <math>|S|-1</math>차원 [[단체 (수학)|표준 단체]]를 꼭짓점들이 <math>\{0,1,\dots,p+q\}</math>인 <math>p+q</math>차원 [[단체 (수학)|표준 단체]]의, <math>S</math>에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 [[함수]]이다.

=== 코호몰로지류의 합곱 ===
쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 <math>\delta</math>와 호환된다.
:<math>\delta(c \smile d) = \delta c \smile d + (-1)^{\deg c}(c \smile \delta d)</math>
따라서, 쌍대사슬의 합곱은 [[코호몰로지류]] 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 '''합곱'''
:<math>\smile\colon H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)</math>
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 <math>H^\bullet(X;R)</math>는 [[등급환]]을 이룬다.

=== 텐서곱 ===
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 및 [[가환환]] <math>R</math> 위의 가군 <math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[특이 쌍대사슬]]에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.
:<math>\otimes_R\colon C^p(X;M)\times C^q(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M\otimes_R N)</math>
:<math>c \otimes_R d\colon\sigma \mapsto c\left(\operatorname{proj}^{X\times Y}_X\circ\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}\right) \otimes_R d\left(\operatorname{proj}^{X\times Y}_Y\circ\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q}\right) \in M\otimes_RN</math>
여기서
:<math>\operatorname{proj}^{X\times Y}_X\colon X\times Y\to X</math>
:<math>\operatorname{proj}^{X\times Y}_Y\colon X\times Y\to Y</math>
는 [[곱공간]]의 사영 사상이다.
이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 '''텐서곱'''
:<math>\otimes_R\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(Y;N)\to\operatorname H^{p+q}(X\times Y;M\otimes_RN)</math>
을 정의할 수 있다. 만약 <math>M=N=R</math>라면, <math>R\otimes_R=R</math>이므로 이는
:<math>\otimes_R\colon \operatorname H^p(X;R)\times\operatorname H^q(Y;R)\to\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R)</math>
이다. 이 사상은 [[퀴네트 정리]]에 등장하는 사상과 같다.

== 성질 ==
코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.
:<math>\alpha \smile \beta = (-1)^{\deg\alpha\deg\beta}(\beta \smile \alpha)</math>

합곱은 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 코호몰로지로 인한 [[당김 (코호몰로지)|당김]]
:<math>f^*\colon H^\bullet(Y)\to H^\bullet(X)</math>
을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 <math>\alpha,\beta\in H^\bullet(Y)</math>에 대하여,
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
즉, <math>f^*</math>는 [[등급환]]의 [[준동형]]을 이룬다.

=== 합곱과 텐서곱의 관계 ===
위상 공간 <math>X</math> 및 [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <Math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상
:<math>\operatorname{diag}_X\colon X\to X^2</math>
이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 [[당김 (코호몰로지)|당김]]
:<math>\operatorname{diag}_X^*(-\otimes_R-)\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(X;N)\to\operatorname H^{p+q}(X;M\otimes_RN)</math>
이 존재한다. 만약 <math>M=N=R</math>라면, 이는 합곱 <math>\smile</math>과 일치한다.

== 역사 ==
1935년 9월 4일~10일 동안 [[모스크바]]에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회({{llang|en|International Topological Conference}})에서 [[제임스 워델 알렉산더]]와 [[안드레이 콜모고로프]]는 독자적으로 [[코호몰로지류]]의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/53.pdf|이름=James C.|성=Becker|이름2=Daniel Henry|성2=Gottlieb|제목=A history of duality in algebraic topology|언어=en}}</ref> 이후 [[에두아르트 체흐]]<ref>{{저널 인용|제목=Multiplications on a complex|이름=Eduard|성=Čech|저자링크=에두아르트 체흐|날짜=1936-07|mr=1503304|zbl=0015.13101|권=37|호=3|쪽=681–697|저널=Annals of Mathematics|url=http://dml.cz/dmlcz/501047|jstor=1968483|doi=10.2307/1968483|issn=0003-486X|언어=en}}</ref>와 [[해슬러 휘트니]]<ref>{{저널 인용|이름=Hassler|성=Whitney|저자링크=해슬러 휘트니|제목=On products in a complex|날짜=1937-05|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=23|쪽=285–291|zbl= 0016.42001|jfm=63.1160.02|doi=10.1073/pnas.23.5.285|issn=0027-8424|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Hassler|성=Whitney|저자링크=해슬러 휘트니|날짜=1938-05|제목=On products in a complex|저널=Annals of Mathematics|권=39|쪽=397–432|mr=1503416 |jfm= 64.1265.04 |zbl=0019.14204|doi=10.2307/1968795|jstor=1968795|issn=0003-486X|언어=en}}</ref>는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 [[사무엘 에일렌베르크]]는 그 정의를 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Samuel|성=Eilenberg|저자링크=사무엘 에일렌베르크|제목=Singular homology|저널=Annals of Mathematics|권=45|쪽=407–447|언어=en}}</ref> 합곱의 기호 <math>\smile</math>는 휘트니가 고안하였다.

== 같이 보기 ==
* [[특이 호몰로지]]
* [[호몰로지]]
* [[교곱]]
* [[매시 곱]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=대수적 위상수학|저자=조용승|출판사=경문사|날짜=2010-09|isbn=978-89-6105-365-5|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|access-date=2015-02-07|archive-date=2015-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20150207031741/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|url-status=}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}
* {{서적 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|제목=Topology and geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=0-387-97926-3|언어=en}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CupProduct|title=Cup product}}
* {{nlab|id=cup product|title=Cup product}}
* {{nlab|id=Eilenberg-Zilber map}}
* {{nlab|id=Alexander-Whitney map}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:이항연산]]