함수의 그래프 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Graph of a two-variable function.gif|섬네일|함수 <math>f(x,y)=(x^2+3y^2)\exp(1-x^2-y^2)</math>의 그래프]]
[[수학]]에서, [[함수]]의 '''그래프'''({{llang|en|graph}})는 [[정의역]]의 값과 그에 대한 함수 값을 좌표로 하는 점들로 이루어진 그림이다.

== 정의 ==
[[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>의 '''그래프'''는 정의역과 공역의 [[곱집합]]의 다음과 같은 [[부분 집합]]이다.
:<math>\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y</math>
<math>m</math>차원 [[실수]] 벡터의 [[유클리드 공간]]의 부분 집합 <math>S\subseteq\mathbb R^m</math>과 <math>n</math>차원 실수 벡터의 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 사이의 함수 <math>f\colon S\to\mathbb R^n</math>의 그래프는 <math>m+n</math>차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^{m+n}</math>의 부분 집합이다. 특히, 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>의 그래프는 [[평면]] 위에서 나타낼 수 있으며, 함수 <math>f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>의 그래프는 3차원 공간 위에서 나타낼 수 있다.

== 성질 ==
만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며 <math>f\colon X\to Y</math>가 [[연속 함수]]라면, <math>x\mapsto(x,f(x))</math>는 <math>X\to X\times Y</math> [[매장 (수학)|매장]]이며, <math>\operatorname{graph}f</math>는 <math>X</math>와 [[위상 동형]]이다. 만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며 <math>f\colon X\to Y</math>가 [[매끄러운 함수]]라면, <math>x\mapsto(x,f(x))</math>는 <math>X\to X\times Y</math> [[매끄러운 매장]]이며, <math>\operatorname{graph}f</math>는 <math>X</math>와 [[미분 동형]]이다.

=== 닫힌집합일 조건 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>Y</math>는 [[하우스도르프 공간]]이다.
* 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\operatorname{graph}f\subseteq X\times Y</math>는 [[닫힌집합]]이다.

만약 <math>Y</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라면, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>\operatorname{graph}f\subseteq X\times Y</math>는 [[닫힌집합]]이다.

== 예 ==
<gallery mode="packed">
파일:F(x) = x^3 − 9x.PNG|함수 <math>f(x)=x^3-9x</math>의 그래프
파일:X^4 - 4^x.PNG|함수 <math>f(x)=x^4-4^x</math>의 그래프
파일:Three-dimensional graph.png|함수 <math>f(x,y)=\sin x^2\cos y^2</math>의 그래프
파일:F(x,y)=−((cosx)^2 + (cosy)^2)^2.PNG|함수 <math>f(x,y)=-(\cos x^2+\cos y^2)^2</math>의 그래프
</gallery>

== 같이 보기 ==
* [[점근선]]
* [[차트]]
* [[오목함수]]
* [[볼록 함수]]
* [[등치선]]
* [[임계점 (수학)]]
* [[미분]]
* [[기울기]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Graph of a mapping}}
* {{매스월드|id=FunctionGraph|제목=Function graph}}
* {{웹 인용|url=https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/plotting-and-graphics|제목=Examples for Plotting & Graphics|언어=en|웹사이트=Wolfram Alpha}}
** 다양한 함수의 그래프의 예시

{{전거 통제}}

[[분류:차트]]
[[분류:함수와 사상]]