하이네-칸토어 정리 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''하이네-칸토어 정리'''(Heine-Cantor定理, {{llang|en|Heine–Cantor theorem}})는 두 [[균등 공간]] 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 [[콤팩트 공간]]이라면 [[연속 함수]]의 개념과 [[균등 연속 함수]]의 개념이 일치한다는 정리다.

== 정의 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E_X)</math>와 [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. '''하이네-칸토어 정리'''에 따르면, <math>f</math>가 [[연속 함수]]인 것과 [[균등 연속 함수]]인 것은 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=John L.|성=Kelley|저자링크=존 리로이 켈리|제목=General topology|url=https://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-90125-1|isbn=0-387-90125-6|판=2|날짜=1975|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=27|언어=en|출판사=Springer|zbl=0306.54002}}</ref>{{rp|198, Theorem 6.31}}
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
모든 [[균등 연속 함수]]는 자명하게 [[연속 함수]]이다. 반대로, [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 임의의 [[측근 (수학)|측근]] <math>\epsilon\in\mathcal E_Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면
:<math>\forall x,y\in X\colon x\approx_\delta y\implies f(x)\approx_\epsilon f(y)</math>
가 성립하는 [[측근 (수학)|측근]] <math>\delta\in\mathcal E_X</math>를 찾으면 족하다.

우선,
:<math>\forall x,y,z\in Y\colon x\approx_{\hat\epsilon}y\approx_{\hat\epsilon}z\implies x\approx_\epsilon z</math>
인 [[대칭 관계|대칭]] [[측근 (수학)|측근]] <math>\hat\epsilon\in\mathcal E_Y</math>를 찾자.

<math>f</math>가 [[연속 함수]]이므로, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[측근 (수학)|측근]] <math>\delta_x\in\mathcal E_X</math>들이 존재한다.
:<math>\forall x,y\in X\colon x\approx_{\delta_x}y\implies f(x)\approx_{\hat\epsilon}f(y)</math>
이제
:<math>\forall x,y,z,w\in X\colon y\approx_{\hat\delta_x}z\approx_{\hat\delta_x}w\implies y\approx_{\delta_x}w</math>
인 측근 <math>\hat\delta_x\in\mathcal E_X</math>들을 고르자. 이제,
:<math>\left\{\{y\in X\colon x\approx_{\hat\delta_x}y\}\colon x\in X\right\}</math>
는 <math>X</math>의 [[열린 덮개]]이므로, [[콤팩트 공간|콤팩트성]]에 의하여 유한 부분 덮개
:<math>\left\{\{y\in X\colon x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}y\}\colon\tilde x\in\tilde X\right\}</math>
:<math>\tilde X\subseteq X</math>
:<math>|\tilde X|<\aleph_0</math>
가 존재한다. 이제,
:<math>\forall y,z\in X\colon y\approx_\delta z\implies \forall \tilde x\in\tilde X\colon y\approx_{\delta_{\tilde x}}z</math>
인 [[측근 (수학)|측근]] <math>\delta\in\mathcal E_X</math>를 고르자.

이제, 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여 <math>x\approx_\delta y</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\tilde x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}x\approx_\delta y</math>
인 <math>\tilde x\in\tilde X</math>가 존재한다. 따라서
:<math>\tilde x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}x\approx_{\hat\delta_{\tilde x}}y</math>
이므로
:<math>\tilde x\approx_{\delta_{\tilde x}}x</math>
:<math>\tilde x\approx_{\delta_{\tilde x}}y</math>
이며, 따라서
:<math>f(x)\approx_{\hat\epsilon}f(\tilde x)\approx_{\hat\epsilon}f(y)</math>
이며, 따라서
:<math>f(x)\approx_\epsilon f(y)</math>
이다.
</div></div>

== 예 ==
[[균등 공간]]에 대하여, [[콤팩트 공간]]인 것은 [[완전 유계 공간]]이자 [[완비 균등 공간]]인 것과 [[동치]]이다 ([[하이네-보렐 정리]]). 만약 정의역이 [[완전 유계 공간]]이 아니거나 [[완비 균등 공간]]이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.
* [[탄젠트 함수]] <math>\tan\colon(-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb R</math>는 정의역이 [[완전 유계 공간]]이며 [[연속 함수]]이지만 [[균등 연속 함수]]가 아니다.
* [[지수 함수]] <math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 정의역이 [[완비 거리 공간]]이며 [[연속 함수]]이지만 [[균등 연속 함수]]가 아니다.

== 역사 ==
[[게오르크 칸토어]]의 [[집합론]] 및 [[실수]]의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 [[에두아르트 하이네]]가 정의역이 [[폐구간]]이고 공역이 [[실직선]]인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.<ref name="Heine">{{저널 인용|이름=Eduard|성=Heine|제목=Die Elemente der Functionenlehre|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|issn=0075-4102|권=74|쪽=172–188|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002154927|날짜=1872|doi=10.1515/crll.1872.74.172|언어=de}}</ref>{{rp|188, Lehrsatz B.3.6}} 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|[[할레 대학교|할레]]의 칸토어 씨에게 특별한 감사를 드리고자 한다. 그의 업적은 나의 이 논문의 얼개에 큰 영향을 미쳤다. […]<br>
Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn ''Cantor'' in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […].|<ref name="Heine"/>{{rp|173}}}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|url=https://www.emis.de/journals/DM/v15-1/art7.pdf|제목=Continuidad y teorema de Heine-Cantor|저널=Divulgaciones Matemáticas|권=15|호=1|쪽=71–76|이름=Reinaldo Antonio|성=Cadenas Aldana|issn=1315-2068|zbl=1147.26301|언어=es}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cantor theorem}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Heine-Cantor_Theorem|제목=Heine–Cantor theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:일반위상수학]]
[[분류:연속 함수]]
[[분류:계량기하학]]