하우스홀더 변환 문서 원본 보기

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'''하우스홀더 변환'''(Householder reflection,Householder transformation)은 소행렬식의 재귀적인 절차의 반복 수렴으로 하우스홀더 리플렉터(Householder reflector)를 구성한다.

[[QR 분해]]에서 하우스홀더 리플렉터를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 접근해 바꾸어감으로써 <math>Q</math>와 <math>R</math>을 구할 수 있는데,

이 방법은 <math>Q</math>행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접 <math>Q</math>를 구할 수 없을 때 유용하다.

또한 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않는 성질이 있다.

또, [[그람-슈미트 방법]]과 [[기븐스 회전]] 방법과 함께 [[QR 분해]]에서 고유한 방법을 제공한다.

하우스홀더 변환은 [[밴드 행렬]]의 일종인 [[3중대각행렬]]처럼 밴드 행렬을 만들기도 한다.
== 성질 ==
:<math>  \alpha = -sgn(a^k_{k+1,k})\sqrt{\sum_{j=k+1}^{n}(a^k_{jk})^2} </math>
:<math> sgn() </math>는 [[부호함수]]
:<math> r = \sqrt{{{1}\over{2}}(\alpha^{2}-a^k_{k+1,k}\alpha)} </math>

:<math>v^k_1 = v^{k}_2 = \cdots = v^k_k=0;</math>

:<math> v^{k}_{k+1} = {{a^{k}_{k+1,k}-\alpha}\over{2r}}</math>

:<math> v^{k}_j = {{a^{k}_{jk}}\over{2r}}</math>
:<math>j = k + 2, k + 3,\ldots, n </math>

:<math>Q^{k} = I - 2v^{(k)}(v^{(k)})^{T}</math>

:<math> A^{(k+1)} = Q^{k}A^{(k)}Q^{k}</math>

<!-- Continuing in this manner, the tridiagonal and symmetric matrix is formed. -->


== 예 ==
하우스홀더변환에의한 <math>4 \times 4 matrix</math> 의 [[3중대각행렬]] 유도과정<ref>This example is taken from the book "Numerical Analysis" by Richard L. Burden (Author), J. Douglas Faires</ref>
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

4&1&-2&2 \\
1 & 2 &0&1 \\
-2 & 0 &3& -2 \\
2 & 1 & -2&-1 \end{bmatrix}</math>

우선, 첫번째 [[하우스홀더 행렬]]을 구하면,


<math>Q_1 = \begin{bmatrix}

1&0&0&0 \\
0 &-1/3&2/3&-2/3 \\
0 & 2/3 &2/3& 1/3 \\
0 & -2/3 &1/3& 2/3 \end{bmatrix}</math>

<math>A_1 = Q_1 A Q_1 = \begin{bmatrix}

4&-3&0&0 \\
-3 & 10/3 &1&4/3 \\
0 & 1 &5/3& -4/3 \\
0 & 4/3 & -4/3&-1 \end{bmatrix}</math>

<math>A_1</math>을 이용해서
<math>Q_2=\begin{bmatrix}

1&0&0&0 \\
0&1 &0&0 \\
0 & 0 &-3/5&-4/5 \\
0 & 0 & -4/5&3/5 \end{bmatrix}</math>

<math>A_2 = Q_2 A_1 Q_2=\begin{bmatrix}

4&-3&0&0 \\
-3 &10/3 &-5/3&0 \\
0 & -5/3 &-33/25& -68/75 \\
0 &0 & -68/75&149/75 \end{bmatrix}
</math>

이것은 두 단계를 거쳐 프로세스가 완료된다.

이것의 최종 결과는 원래의 것과 유사한 형태인 <math>3 \times 3</math>행렬의 [[3중대각행렬]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[하우스홀더 행렬]]
* [[5중대각행렬]]
* [[케일리 변환]](Cayley transform)

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 ==
* http://mathworld.wolfram.com/HouseholderMatrix.html

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]
[[분류:변환 (함수)]]