하디 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''하디 공간'''(Hardy空間, {{llang|en|Hardy space}})은 '''하디 노름'''({{llang|en|Hardy norm}})이라는 어떤 특별한 [[노름]]이 유한한, [[단위 원판]] 위의 [[정칙 함수]]들로 구성된 [[위상 벡터 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|성=Duren|이름=P. L.|제목=Theory of H<sup>p</sup> spaces|출판사=Academic Press|날짜=1970|총서=Pure and Applied Mathematics|권=38|doi=10.1016/S0079-8169(13)60001-X|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Koosis|이름=P.|제목=Introduction to ''H<sub>p</sub>'' spaces|총서=Cambridge Tracts in Mathematics|권=115|판=2|출판사=Cambridge University Press|날짜=1998|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
양의 [[확장된 실수]] <math>p\in(0,\infty]</math>가 주어졌다고 하자. 열린 단위 원판
:<math>Z = \{z\in\mathbb C\colon |z|<1\}</math>
위의 [[정칙 함수]] <math>f\colon Z\to\mathbb C</math>에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>\|f\|_{\operatorname H^p} = \sup_{0\le r<1} \sqrt[p]{\frac1{2\pi}\oint |f(r\exp(\mathrm i\theta))|^p\,\mathrm d\theta} \in [0,\infty]</math>
:<math>\|f\|_{\operatorname H^\infty} = \sup_{z\in Z}|f(z)|\in[0,\infty]</math>
이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 '''하디 공간'''이라고 하며, <math>\operatorname H^p</math>로 표기한다.

== 성질 ==
만약 <math>1\le p\le \infty</math>이라면, <math>\|-\|_{\operatorname H^p}</math>는 [[노름]]이며, <math>\operatorname H^p</math>는 복소수 [[바나흐 공간]]이다.

만약 <math>0<p<1</math>이라면, <math>\|-\|_{\operatorname H^p}</math>는 [[노름]]이 아니며, <math>\operatorname H^p</math>는 복소수 [[바나흐 공간]]이 아닌 [[위상 벡터 공간]]이다.

=== 르베그 공간과의 관계 ===
임의의 <math>p\in(0,\infty]</math> 및 <math>f\in\operatorname H^p</math>에 대하여,
:<math>\iota(f)(\theta)=\lim_{r\to1}f(r\exp(\mathrm i\theta))</math>
는 [[거의 어디서나|거의 모든]] <math>\theta</math>에 대하여 존재한다. 따라서, 이는 단사 포함 사상
:<math>\iota\colon \operatorname H^p\to\operatorname L^p(\mathbb S^1;\mathbb C)</math>
을 정의한다. 여기서 <math>\operatorname L^p(\mathbb S^1;\mathbb C)</math>는 원 위의 복소수 값 [[르베그 공간]]이다.

== 역사 ==
[[리스 프리제시]]가 1923년에 도입하였으며,<ref>{{저널 인용|first= Frigyes|last= Riesz|authorlink= 리스 프리제시|title=Über die Randwerte einer analytischen Funktion|journal=Mathematische Zeitschrift |volume= 18  |year=1923|pages= 87–95|doi=10.1007/BF01192397|언어=de}}</ref> [[고드프리 해럴드 하디]]의 이름을 따 명명하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hardy classes}}
* {{매스월드|id=HardySpace|title=Hardy space}}
* {{매스월드|id=HardyNorm|title=Hardy norm}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:복소해석학]]