하디의 부등식 문서 원본 보기

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'''하디의 부등식'''(Hardy's inequality, -不等式)은 [[영국]]의 [[수학자]]인 [[고드프리 해럴드 하디]]가 [[1920년]] 제시한 [[부등식]]이다. 이 부등식은 [[하디-리틀우드-포여 정리]] 및 [[민코프스키 부등식]]의 따름정리로 얻을 수 있으며, [[칼레만의 부등식]] 등 여러 부등식을 증명하는 데 사용된다. 크게 두 가지 형태로 쓸 수 있다.

== 대수적 형태 ==
<math>{a_i}</math>를 0으로 수렴하는 양의 [[실수]]열이라 하고, p>1이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

* <math>\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right )^p \le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p</math>

== 적분 형태 ==
f가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 [[적분가능함수]]이고 1<p<∞이라 할 때, 다음 두 부등식이 성립한다.<ref>방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 261쪽.</ref>

# <math>\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.</math>
# <math>\int_0^\infty \left (\int_x^\infty \frac{1}{t} f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.</math>

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[하디-리틀우드-포여 정리]]
* [[칼레만의 부등식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002

[[분류:부등식]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:바나흐 공간]]