필터 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Upset.svg|섬네일|[[집합]] <math>\{1,2,3,4\}</math>의 [[멱집합]]의 [[하세 도형]]. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.]]
[[순서론]]에서 '''필터'''({{llang|en|filter}})는 어떤 [[원순서 집합]]의 [[하향 원순서 집합|하향]] [[상집합]]이며, 반대로 '''순서 아이디얼'''(順序ideal, {{llang|en|order ideal}})은 어떤 [[원순서 집합]]의 [[상향 원순서 집합|상향]] [[하집합]]이다.

[[일반위상수학]]에서 필터의 개념은 [[점렬]]의 일반화로 사용되며, [[수리논리학]]에서 필터는 [[초곱]]을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, [[초실수]]의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

== 정의 ==
=== 필터와 순서 아이디얼 ===
[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math> 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 '''필터'''라고 한다.
* <math>S</math>는 [[하향 원순서 집합]]이다.
* <math>S</math>는 [[상집합]]이다.
[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math> 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 '''순서 아이디얼'''이라고 한다.
* <math>S</math>는 [[상향 원순서 집합]]이다.
* <math>S</math>는 [[하집합]]이다.

=== 소 필터와 소 순서 아이디얼 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 필터 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>X\setminus S</math>가 아이디얼이라면, <math>S</math>를 '''소 필터'''({{llang|en|prime filter}}), <math>X\setminus S</math>를 '''소 순서 아이디얼'''({{llang|en|prime order ideal}})이라고 한다.

=== 극대 필터와 극대 순서 아이디얼 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 필터들은 [[부분 집합]] 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Filter}(X,\lesssim)</math>을 이루며, 만약 <math>X</math>가 [[하향 원순서 집합]]이라면 그 [[최대 원소]]는 <math>X\in \operatorname{Filter}(X,\lesssim)</math> 자체이다. 이 경우, <math>\operatorname{Filter}(X,\lesssim)\setminus\{X\}</math>의 [[극대 원소]]를 '''극대 필터'''(極大filter, {{llang|en|maximal filter}}) 또는 '''초필터'''(超filter, {{llang|en|ultrafilter|울트라필터}})라고 한다.

마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 순서 아이디얼들은 [[부분 집합]] 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Ideal}(X,\lesssim)</math>을 이루며, 만약 <math>X</math>가 [[상향 원순서 집합]]이라면 그 [[최대 원소]]는 <math>X\in\operatorname{Ideal}(X,\lesssim)</math> 자체이다. 이 경우 <math>\operatorname{Ideal}(X,\lesssim)\setminus\{X\}</math>의 [[극대 원소]]를 '''극대 순서 아이디얼'''(極大順序ideal, {{llang|en|maximal order ideal}})라고 한다.

(<math>X</math> 자체를 제외하는 것은 [[환론]]에서 [[극대 아이디얼]]을 정의할 때 [[환 (수학)|환]] 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

== 성질 ==
=== 합집합과 교집합 ===
같은 [[원순서 집합]] 속의 두 필터의 [[합집합]]이나 [[교집합]]은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math> 속의 필터들의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>\mathcal C\subseteq\operatorname{Filter}(X,\lesssim)</math>에 대하여, [[합집합]] <math>\textstyle\bigcup\mathcal C</math>은 필터를 이룬다. 그러나 [[교집합]] <math>\bigcap\mathcal C</math>는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 [[사슬 (순서론)|사슬]]의 [[합집합]]은 순서 아이디얼이지만, [[교집합]]은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, [[자연수]] 집합 <math>\mathbb N</math>에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 <math>\infty</math>, <math>\infty'</math>를 추가하였을 때,
:<math>F_i=\{n\in\mathbb N\colon n\ge i\}\cup\{\infty,\infty'\}</math>
는 필터이지만,
:<math>\bigcap_{i\in\mathbb N}F_i=\{\infty,\infty'\}</math>
는 [[하향 원순서 집합]]이 아니므로 필터가 아니다.

=== 극대 필터 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[하향 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>
* 필터 <math>F\subsetneq X</math>
* [[최소 원소]] <math>\bot\in X</math>. 즉, 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>\bot\lesssim x</math>이다.
'''극대 필터 정리'''(極大filter定理, {{llang|en|maximal filter theorem}})에 따르면, <math>F</math>를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 [[초른 보조정리]]로 쉽게 증명된다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[부분 순서 집합]]
:<math>\mathcal R=\left\{F'\in\operatorname{Filter}(X,\lesssim)\colon F\subseteq F'\ne X\right\}</math>
를 생각하자. [[초른 보조정리]]에 따라, <math>\mathcal R</math> 속의 모든 [[사슬 (순서론)|사슬]]이 [[상계 (수학)|상계]]를 가지는 것을 보이면 족하다.

<math>\mathcal R</math> 속의 임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>\mathcal C\subseteq\mathcal R</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcup\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 [[상계 (수학)|상계]]이다. 이제 <math>\textstyle\bigcup\mathcal C\ne X</math>임을 보이면 족하다.

[[귀류법]]을 사용하여, <math>\textstyle\bigcup\mathcal C=X</math>라고 가정하자. 그렇다면
:<math>\bot\lesssim C\in\mathcal C</math>
인 <math>C\in\mathcal C</math>를 찾을 수 있다. 그렇다면 <math>C=X\not\in\mathcal R</math>인데, 이는 모순이다.</div></div>

마찬가지로, [[최대 원소]]를 갖는 [[상향 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에서, <math>X</math> 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

=== 격자 ===
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>I\subseteq L</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>I</math>는 순서 아이디얼이다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
** [[공집합]]이 아니다.
** <math>x,y\in I</math>에 대하여 <math>x\lor y\in I</math>이다.
** <math>x\in I</math> 및 <math>y\in L</math>에 대하여 <math>x\land y\in I</math>이다.
* <math>I=\phi^{-1}(0)</math>인 이음 반격자 준동형 <math>\phi\colon L\to 2</math>가 존재한다.

[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>F\subseteq L</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>F</math>는 필터이다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
** [[공집합]]이 아니다.
** <math>x,y\in F</math>에 대하여 <math>x\land y\in F</math>이다.
** <math>x\in F</math> 및 <math>y\in L</math>에 대하여 <math>x\lor y\in F</math>이다.
* <math>F=\phi^{-1}(1)</math>인 만남 반격자 준동형 <math>\phi\colon L\to 2</math>가 존재한다.

[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>I\subseteq L</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>I</math>는 소 순서 아이디얼이다.
* <math>L\setminus I</math>는 소 필터이다.
* <math>I=\phi^{-1}(0)</math>인 격자 준동형 <math>\phi\colon L\to 2</math>가 존재한다.

==== 필터 격자와 순서 아이디얼 격자 ====
일반적인 [[격자 (순서론)|격자]]의 순서 아이디얼/필터들의 [[부분 순서 집합]]은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 [[교집합]]이 [[공집합]]일 수 있기 때문이다. [[유계 이음 반격자]] <math>S</math>의 순서 아이디얼들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Ideal}(S)</math>은 [[대수적 격자]]를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 [[상한]]이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 [[콤팩트 원소]]이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 <math>\mathcal I\subseteq\operatorname{Ideal}(S)</math>의 [[상한]]과 [[하한]]은 다음과 같다.
:<math>\bigvee\mathcal I=\{x\in S\colon x\le i_1\vee\cdots\vee i_n,\;i_k\in I_k,\;k=1,\dots,n,\;I_1,\dots,I_n\in\mathcal I,\;n=1,2,\dots\}</math>
:<math>\bigwedge\mathcal I=\bigcap\mathcal I</math>
쌍대적으로, [[유계 만남 반격자]] <math>S</math>의 필터들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Filter}(S)</math>은 [[대수적 격자]]를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 [[상한]]이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 [[콤팩트 원소]]이기 때문이다.) 필터들의 집합 <math>\mathcal F\subseteq\operatorname{Filter}(S)</math>의 [[상한]]과 [[하한]]은 다음과 같다.
:<math>\bigvee\mathcal F=\{x\in S\colon x\ge f_1\wedge\cdots\wedge f_n,\;f_k\in F_k,\;k=1,\dots,n,\;F_1,\dots,F_n\in\mathcal F,\;n=1,2,\dots\}</math>
:<math>\bigwedge\mathcal F=\bigcap\mathcal F</math>
반대로 모든 [[대수적 격자]]는 어떤 [[유계 이음 반격자]]의 순서 아이디얼 격자와 [[동형]]이며, 마찬가지로 어떤 [[유계 만남 반격자]]의 필터 격자와 [[동형]]이다.<ref name="Grätzer" />{{rp|53, Theorem 42}}

[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Grätzer" />{{rp|111, Corollary 104}}
* 순서 아이디얼들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Ideal}(L)</math>은 [[분배 격자]]이다.
* 필터들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Filter}(L)</math>은 [[분배 격자]]이다.
* <math>L</math>은 [[분배 격자]]이다.

==== 볼록 부분 격자 ====
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>가 다음 두 조건을 만족시키면, '''(순서) 볼록 집합'''({{llang|en|(order) convex set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in S</math> 및 <math>z\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\lesssim z\lesssim y</math>라면, <math>z\in S</math>
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의 순서 아이디얼 <math>I</math>와 필터 <math>F</math>의 [[교집합]] <math>I\cap F</math>는 항상 <math>L</math>의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 [[공집합]]이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 [[교집합]]으로 유일하게 나타낼 수 있다.<ref name="Grätzer">{{서적 인용
|이름1=George
|성1=Grätzer
|제목=Lattice Theory: Foundation
|언어=en
|출판사=Springer
|위치=Basel
|날짜=2011
|isbn=978-3-0348-0017-4
|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1
|mr=2768581
|zbl=1233.06001
|lccn=2011921250
}}</ref>{{rp|34, Lemma 9}}
{{증명}}
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의 순서 아이디얼 <math>I</math>와 필터 <math>F</math>가 주어졌다고 하자. <math>I</math>와 <math>F</math>가 부분 격자이므로, [[교집합]] 역시 부분 격자이다. <math>x,y\in I\cap F</math> 및 <math>z\in L</math>이 주어졌고, <math>x\le z\le y</math>라고 하자. 그렇다면 <math>I</math>가 [[하집합]]이므로 <math>z\in I</math>이며, <math>F</math>가 [[상집합]]이므로 <math>z\in F</math>이다. 따라서, <math>I\cap F</math>는 <math>L</math>의 볼록 부분 격자이다.

반대로, <math>L</math>의 볼록 부분 격자 <math>S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>S</math>는 [[상향 집합]]이자 [[하향 집합]]이다. <math>S</math>를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 <math>\mathop\downarrow S</math> 및 필터 <math>\mathop\uparrow S</math>를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 <math>S\subseteq\mathop\downarrow S\cap\mathop\uparrow S</math>이다. 또한, <math>S</math>가 볼록 부분 격자이므로 <math>\mathop\downarrow S\cap\mathop\uparrow S\subseteq S</math>이다. 따라서 <math>S</math>는 순서 아이디얼 <math>\mathop\downarrow S</math>와 필터 <math>\mathop\uparrow S</math>의 [[교집합]]이다.

이제, <math>L</math>의 볼록 부분 격자 <math>S=I\cap F</math>가 순서 아이디얼 <math>I</math>와 필터 <math>F</math>의 [[교집합]]이라고 하자. 쌍대성에 따라, <math>I=\mathop\downarrow S</math>를 보이면 족하다. <math>S\subseteq I</math>이므로 <math>\mathop\downarrow S\subseteq I</math>이다. 반대로 <math>x\in I</math>라고 하자. 임의의 <math>y\in S</math>를 취하자. 그렇다면, <math>y\in I</math>이므로 <math>x\vee y\in I</math>이며, <math>y\in F</math>이므로 <math>x\vee y\in F</math>이다. 즉, <math>x\vee y\in S</math>이다. <math>x\le x\vee y</math>이므로, <math>x\in\mathop\downarrow S</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 불 대수 ===
[[불 대수]] <math>(B,\lor,\land,\lnot)</math>는 다음과 같이 표준적으로 [[가환환]]으로 여길 수 있다.
:<math>xy=x\land y</math>
:<math>x+y=(x\lor y)\land\lnot(x\land y)</math>
또한, [[불 대수]] <math>(B,\lor,\land,\lnot)</math>는 다음과 같이 표준적으로 [[부분 순서 집합]]으로 여길 수 있다.
:<math>x\le y\iff x=x\land y\iff y=x\lor y</math>
그렇다면, <math>B</math>의 순서 아이디얼의 개념은 [[가환환]]으로서의 [[아이디얼]]의 개념과 일치한다.

[[불 대수]] <math>B</math> 위의 필터 <math>\mathcal U</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal U</math>는 극대 필터이다.
* 임의의 <math>x\in B</math>에 대하여, <math>x\in\mathcal U</math>이거나 <math>\lnot x\in\mathcal U</math>이다.
* <math>B\setminus\mathcal U</math>는 극대 순서 아이디얼이다.

=== 그물의 유도 필터 ===
[[집합]] <math>X</math>와 [[상향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math> 및 [[그물 (수학)|그물]] <math>x_\bullet\colon I\to X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 꼬리들의 집합
:<math>\left\{\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\colon i\in I\right\}</math>
은 [[하향 원순서 집합]]을 이루며, 이로부터 생성되는 필터
:<math>\left\{S\subseteq X\colon\exists i\in I\colon\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\subseteq S\right\}</math>
를 그물 <math>x_\bullet</math>의 '''유도 필터'''({{llang|en|derived filter}})라고 한다.

마찬가지로, [[집합]] <math>Y</math>와 [[하향 원순서 집합]] <math>(J,\lesssim)</math> 및 함수 <math>y_\bullet\colon J\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>(y_j)_{j\in J}</math>의 머리들의 집합
:<math>\left\{\{y_{j'}\colon j'\lesssim j\}\colon j\in J\right\}</math>
은 [[상향 원순서 집합]]을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼
:<math>\left\{S\subseteq Y\colon\exists j\in J\colon\{x_{j'}\colon j'\lesssim j\}\subseteq S\right\}</math>
를 <math>y_\bullet</math>의 '''유도 순서 아이디얼'''({{llang|en|derived order ideal}})라고 한다.

[[수열]]은 [[그물 (수학)|그물]]의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

=== 필터에 대응되는 그물 ===
모든 [[그물 (수학)|그물]]에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 [[그물 (수학)|그물]]을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.<ref>{{저널 인용|제목=Nets and filters in topology|이름=R. G.|성=Bartle|쪽=551–557|저널=The American Mathematical Monthly|jstor=2307247|권=62|호=8|날짜=1955-10|doi=10.2307/2307247|zbl=0065.37901|mr=0073153|언어=en}}</ref>

집합 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math>의 [[부분 집합]] <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>가 주어졌을 때, 집합
:<math>I=\{(x,A)\colon x\in A\in\mathcal F\}\subseteq X\times\mathcal F</math>
에 다음과 같은 [[원순서]]를 줄 수 있다.
:<math>(x,A)\lesssim(y,B)\iff A\subseteq B</math>
만약 <math>\mathcal F</math>가 [[상향 원순서 집합]]이며 <math>\mathcal F\ne\{\varnothing\}</math>이라면 <math>I</math> 역시 [[상향 원순서 집합]]이며,
:<math>n\colon I\to X</math>
:<math>n\colon (x,A)\mapsto x</math>
는 [[그물 (수학)|그물]]을 이룬다.
반대로, <math>\mathcal F</math>가 [[하향 원순서 집합]]이며 <math>\mathcal F\ne\mathcal P(X)</math>라면 <math>I</math> 역시 [[하향 원순서 집합]]이며,
:<math>n\colon I^{\operatorname{op}}\to X</math>
:<math>n\colon (x,A)\mapsto x</math>
는 [[그물 (수학)|그물]]을 이룬다.

=== 멱집합 위의 필터 ===
집합 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math> 위의 필터 <math>\mathcal U</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal U</math>는 극대 필터이다.
* <math>\mathcal U\ne\mathcal P(X)</math>이며, 임의의 <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>A\cup B\in\mathcal U</math>라면 <math>A\in\mathcal U</math>이거나 <math>B\in\mathcal U</math>이다.
* <math>\mathcal U\ne\mathcal P(X)</math>이며, 임의의 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>A\in\mathcal U</math>이거나 <math>X\setminus A\in\mathcal U</math>이다.
따라서, 집합 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math> 위의 극대 필터 <math>\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)</math>는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>는 "대부분"이거나 (<math>A\in\mathcal U</math>), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 (<math>X\setminus A\in\mathcal U</math>).

[[한원소 집합|한원소]] [[부분 집합]]에 대한 주 필터
:<math>\uparrow\{x\}=\{S\subseteq X\colon x\in S\}</math>
는 극대 필터이다. [[유한 집합]]의 [[멱집합]] 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

==== 완비 극대 필터 ====
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, '''<math>\kappa</math>-완비 극대 필터'''({{llang|en|<math>\kappa</math>-complete maximal filter}})는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 <math>\mathcal U</math>이다.
* 임의의 <math>\mathcal V\subset\mathcal U</math>에 대하여, 만약 <math>|V|<\kappa</math>라면 <math>\textstyle\bigcap\mathcal V\in\mathcal U</math>이다.
정의에 따라, 모든 극대 필터는 <math>\aleph_0</math>-완비 극대 필터이다.

집합 <math>X</math> 위의 극대 필터 <math>\mathcal U</math>의 '''완비성''' <math>\kappa</math>는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 [[기수]]이다.
* <math>\textstyle\bigcap\mathcal V\not\in\mathcal U</math>이며 <math>|\mathcal V|=\kappa</math>인 <math>\mathcal V\subset\mathcal U</math>가 존재한다.
만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 <math>\aleph_0</math> 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

== 예 ==
=== 자명한 필터 ===
임의의 [[하향 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math> 속에서, <math>X</math> 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 [[상향 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math> 속에서, <math>X</math> 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

=== 주 필터와 주 아이디얼 ===
어떤 원소 <math>x</math>를 포함하는 가장 작은 필터를 '''주 필터'''({{llang|en|principal filter}})로 부르며,
:<math>\uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}</math>
로 표기한다. 어떤 원소 <math>x</math>를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 '''주 순서 아이디얼'''({{llang|en|principal order ideal}})로 부르며,
:<math>\downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}</math>
로 표기한다.

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 극소 필터는 그 [[극대 원소]]로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, [[원순서 집합]]의 극소 순서 아이디얼은 그 [[극소 원소]]로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

=== 프레셰 필터 ===
집합 <math>S</math> 및 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\aleph_0\le\kappa</math>에 대하여,
:<math>\mathcal F_\kappa(S)=\{T\subset S\colon|S\setminus T|<\kappa\}</math>
는 <math>S</math>위의 필터를 이룬다. 만약 <math>\kappa=\aleph_0</math>이라면, 이는 [[쌍대유한집합]]들의 집합이며, 이를 '''프레셰 필터'''({{llang|en|Fréchet filter}})라고 한다.

=== 근방 필터 ===
{{본문|근방 필터}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서, 주어진 점의 모든 [[근방]]들은 '''[[근방 필터]]'''라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 [[근방 필터]]를 포함하는 것을 의미한다.

== 역사 ==
순서 아이디얼의 개념은 [[불 대수]]에 대하여 1934년에 [[마셜 하비 스톤]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Boolean algebras and their application to topology|이름=M. H.|성=Stone|저자링크=마셜 하비 스톤|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|날짜=1934-03|권=20|호=3|쪽=197–202|pmc=1076376|doi=10.1073/pnas.20.3.197|zbl=0010.08104|jfm=60.0108.02|언어=en}}</ref> "순서 아이디얼"이라는 이름은 [[불 대수]]의 순서 아이디얼은 [[가환환]]으로서의 [[아이디얼]]과 일치하기 때문에 사용되었다.  1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 [[격자 (순서론)|격자]]에 대하여 "μ-아이디얼"({{llang|en|μ-ideal}})이라는 이름으로 일반화하였다.<ref name="Stone37">{{저널 인용|저널=Časopis pro pěstování matematiky a fysiky|제목=Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics|이름=M. H.|성=Stone|저자링크=마셜 하비 스톤|권=67|호=1|날짜=1937|쪽=1–25|zbl=0018.00303|jfm=63.0830.01|url=http://dml.cz/dmlcz/124080|issn=1802-114X|언어=en}}</ref>{{rp|3, Definition 1}} 마찬가지로, 스톤은 [[격자 (순서론)|격자]] 속의 필터를 "α-아이디얼"({{llang|en|α-ideal}})이라고 명명하였다.<ref name="Stone37"/>{{rp|4, Definition 1}}

이와 독자적으로, [[앙리 카르탕]]은 1937년에 [[점렬]]의 개념을 일반화하여 "필터"({{llang|fr|filtre|필트르}})와 "초필터"({{llang|fr|ultrafiltre|윌트라필트르}})라는 용어를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Henri|성=Cartan|저자링크=앙리 카르탕|제목=Théorie des filtres|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=205|쪽=595-598|날짜=1937|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f594.image|jfm=63.0569.02|zbl=0017.24305|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Henri|성=Cartan|저자링크=앙리 카르탕|제목=Filtres et ultrafiltres|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=205|쪽=777-779|날짜=1937|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f776.image|zbl=0018.00302|jfm=63.0569.03|언어=fr}}</ref> 이후 [[니콜라 부르바키]]가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용| last=Comfort | first=W. W. | title=Ultrafilters: some old and some new results | url=http://www.ams.org/bull/1977-83-04/S0002-9904-1977-14316-4/home.html | doi=10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 | mr=0454893 | year=1977 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0002-9904 | volume=83 | issue=4 | pages=417–455 | 언어=en}}
* {{서적 인용| last=Comfort | first=W. W. | 이름2=S. |성2=Negrepontis | title=The theory of ultrafilters | url=https://archive.org/details/theoryofultrafil0000comf | publisher=Springer-Verlag | mr=0396267 | 날짜=1974 | 언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Ultrafilters across Mathematics|총서=Contemporary Mathematics|권=530|날짜=2010|출판사=American Mathematical Society|doi=10.1090/conm/530|mr=2742582|isbn=978-0-8218-4833-3|editor1-first=Vitaly|editor1-last=Bergelson|editor2-first=Andreas|editor2-last=Blass|editor3-first=Mauro|editor3-last=Di Nasso|editor4-first=Renling|editor4-last=Jin|언어=en}}
** {{서적 인용|이름=Vitaly|성=Bergelson|장url=https://people.math.osu.edu/bergelson.1/VBContempMathUltrafiltersEtc.pdf|장=Ultrafilters, IP sets, dynamics, and combinatorial number theory|제목=Ultrafilters across Mathematics|총서=Contemporary Mathematics|권=530|날짜=2010|출판사=American Mathematical Society|doi=10.1090/conm/530/10439|mr=2757532|isbn=978-0-8218-4833-3|쪽=23–47|editor1-first=Vitaly|editor1-last=Bergelson|editor2-first=Andreas|editor2-last=Blass|editor3-first=Mauro|editor3-last=Di Nasso|editor4-first=Renling|editor4-last=Jin|언어=en}}
** {{서적 인용|이름=D. H.|성=Fremlin|장url=https://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/n09102.pdf|장=Measure-centering ultrafilters|제목=Ultrafilters across Mathematics|총서=Contemporary Mathematics|권=530|날짜=2010|출판사=American Mathematical Society|doi=10.1090/conm/530/10441|mr=2757534|isbn=978-0-8218-4833-3|쪽=73–120|editor1-first=Vitaly|editor1-last=Bergelson|editor2-first=Andreas|editor2-last=Blass|editor3-first=Mauro|editor3-last=Di Nasso|editor4-first=Renling|editor4-last=Jin|언어=en|access-date=2016-06-16|archive-date=2016-03-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20160325225552/http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/n09102.pdf}}
** {{서적 인용|이름=Italy|성=Neeman|장url=http://www.math.ucla.edu/~ineeman/uflc.pdf|장=Ultrafilters and large cardinals|제목=Ultrafilters across Mathematics|총서=Contemporary Mathematics|권=530|날짜=2010|출판사=American Mathematical Society|doi=10.1090/conm/530/10445|mr=2757538|isbn=978-0-8218-4833-3|쪽=181–200|editor1-first=Vitaly|editor1-last=Bergelson|editor2-first=Andreas|editor2-last=Blass|editor3-first=Mauro|editor3-last=Di Nasso|editor4-first=Renling|editor4-last=Jin|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Filter}}
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* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Filter|제목=Definition: filter|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Filter_on_Set|제목=Definition: filter on set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Boolean_Prime_Ideal_Theorem|제목=Boolean prime ideal theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Ultrafilter_Lemma|제목=Ultrafilter lemma|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2007/06/25/ultrafilters-nonstandard-analysis-and-epsilon-management/|제목=Ultrafilters, nonstandard analysis, and epsilon management|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2007-06-25|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/07/definitions_of_ultrafilter.html|제목=Definitions of ultrafilter|웹사이트=The ''n''-Category Café|날짜=2011-07-02|이름=Tom|성=Leinster|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2010/11/22/boolean-rings-ultrafilters-and-stones-representation-theorem/|제목=Boolean rings, ultrafilters, and Stone’s representation theorem|날짜=2010-11-22|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2010/12/09/ultrafilters-in-topology/|제목=Ultrafilters in topology|날짜=2010-12-09|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2010/12/14/ultrafilters-in-ramsey-theory/|제목=Ultrafilters in Ramsey theory|날짜=2010-12-14|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}

[[분류:순서론]]
[[분류:일반위상수학]]